Упр.2.36 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\left(\frac{1}{3}\right)^{|x|}=\left(a+\frac{1}{3}\right)x^2+a^2$$ имеет единственное решение?

Рассмотрим функцию

$$y=\left(\frac13\right)^{|x|}-\left(a+\frac13\right)x^2-a^2.$$

Она чётная, так как

$$y(-x)=\left(\frac13\right)^{|-x|}-\left(a+\frac13\right)(-x)^2-a^2=y(x).$$

Значит, если $$x_0$$ — корень уравнения, то и $$-x_0$$ тоже корень. Чтобы уравнение имело единственное решение, это решение должно быть $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$\left(\frac13\right)^{|0|}=\left(a+\frac13\right)\cdot 0^2+a^2,$$

$$1=a^2,$$

$$a=\pm 1.$$

Проверим оба значения.

1) При $$a=1$$ получаем

$$\left(\frac13\right)^{|x|}=\frac43x^2+1.$$

Левая часть не превосходит $$1$$, а правая не меньше $$1$$. Равенство возможно только при

$$\left(\frac13\right)^{|x|}=1,\qquad \frac43x^2+1=1,$$

то есть при $$x=0$$. Значит, решение единственно.

2) При $$a=-1$$ имеем

$$\left(\frac13\right)^{|x|}=1-\frac23x^2.$$

Проверим несколько значений:

$$x=0 \Rightarrow 1=1,$$

$$x=\pm 1 \Rightarrow \frac13=1-\frac23=\frac13.$$

Получаем три решения, значит, единственности нет.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение только при $$a=1$$.

Ответ

$$a=1$$