Упр.2.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 2.34. Решите уравнение 2^(cos(x))+2^(sin(x))=2^(1-v2/2).

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$ 2^{\cos x}+2^{\sin x}\ge 2\sqrt{2^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}} =2\sqrt{2^{\cos x+\sin x}}. $$

Так как

$$ \cos x+\sin x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right) =\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right), $$

то

$$ \cos x+\sin x\ge -\sqrt2. $$

Следовательно,

$$ 2^{\cos x}+2^{\sin x}\ge 2\sqrt{2^{-\sqrt2}} =2^{1-\frac{\sqrt2}{2}}. $$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда

$$ 2^{\cos x}=2^{\sin x}, $$

то есть

$$ \cos x=\sin x, $$

и одновременно

$$ \cos x+\sin x=-\sqrt2. $$

Из равенства $$\cos x=\sin x$$ получаем

$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\pm 1. $$

Чтобы сумма была равна $$-\sqrt2$$, нужно

$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1. $$

Тогда

$$ x-\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

$$ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

$$ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$