Упр.2.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$2^{\cos(x)}+2^{\sin(x)}=2^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$.

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$2^{\cos x}+2^{\sin x}\ge 2\sqrt{2^{\cos x}\cdot 2^{\sin x}} =2\sqrt{2^{\cos x+\sin x}}.$$

Так как

$$\cos x+\sin x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right) =\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$

то

$$\cos x+\sin x\ge -\sqrt2.$$

Следовательно,

$$2^{\cos x}+2^{\sin x}\ge 2\sqrt{2^{-\sqrt2}} =2^{1-\frac{\sqrt2}{2}}.$$

Равенство возможно тогда и только тогда, когда

$$2^{\cos x}=2^{\sin x},$$

то есть

$$\cos x=\sin x,$$

и одновременно

$$\cos x+\sin x=-\sqrt2.$$

Из равенства $$\cos x=\sin x$$ получаем

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\pm 1.$$

Чтобы сумма была равна $$-\sqrt2$$, нужно

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$