Упр.2.33 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$4^{\operatorname{tg}(x)}+4^{\operatorname{ctg}(x)}=8$$.

Рассмотрим уравнение

$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}=8.$$

Положим $$a=\tg x,\quad b=\ctg x.$$ Тогда $$ab=1.$$

Если $$\tg x\le 0,$$ то $$4^{\tg x}\le 1$$ и $$4^{\ctg x}\le 1,$$ значит

$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}\le 2,$$

что невозможно, так как справа стоит $$8.$$ Следовательно, $$\tg x>0$$ и $$\ctg x>0.$$

Тогда по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}\ge 2\sqrt{4^{\tg x}\cdot 4^{\ctg x}}=2\sqrt{4^{\tg x+\ctg x}}.$$

Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то

$$\tg x+\ctg x\ge 2,$$

следовательно,

$$4^{\tg x+\ctg x}\ge 4^2=16,$$

и потому

$$4^{\tg x}+4^{\ctg x}\ge 2\sqrt{16}=8.$$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда

$$4^{\tg x}=4^{\ctg x},$$

то есть

$$\tg x=\ctg x.$$

Отсюда

$$\tg^2 x=1,$$

а с учётом $$\tg x>0$$ получаем

$$\tg x=1.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$