Упр.2.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение $$9^x-(14-x)\cdot 3^x+33-3x=0$$.

Подробный ответ

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$9^x=3^{2x}=t^2.$$ Получаем уравнение

$$t^2-(14-x)t+33-3x=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Найдём его дискриминант:

$$D=(14-x)^2-4(33-3x).$$

$$D=196-28x+x^2-132+12x=x^2-16x+64=(x-8)^2.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{14-x\pm(x-8)}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{14-x+x-8}{2}=\frac{6}{2}=3,$$

$$t_2=\frac{14-x-(x-8)}{2}=\frac{22-2x}{2}=11-x.$$

Возвращаясь к переменной $$t=3^x,$$ получаем два случая:

$$3^x=3 \quad \text{или} \quad 3^x=11-x.$$

1) $$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

2) Рассмотрим уравнение $$3^x=11-x.$$ Функция $$y=3^x$$ возрастает, а функция $$y=11-x$$ убывает, значит, пересечение у них может быть только одно. Проверим значение $$x=2$$:

$$3^2=9,\qquad 11-2=9.$$

Следовательно, $$x=2$$ — решение.

Итак, уравнение имеет два корня: $$x=1$$ и $$x=2.$$