Упр.2.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:

1) $$4^{x+\frac{1}{2}}+\frac{2}{4^x}+14=9\left(2^x+\frac{1}{2^x}\right)$$;

2) $$9^{x+\frac{1}{2}}+\frac{3}{9^x}+26=16\left(3^x+3^{-x}\right)$$.

Подробный ответ

1) Пусть $$y=2^x+\frac{1}{2^x}.$$ Тогда

$$4^{x+\frac12}+\frac{2}{4^x}+14=9\left(2^x+\frac{1}{2^x}\right)$$
$$2\cdot 4^x+\frac{2}{4^x}+14=9y$$
$$2\left(2^{2x}+\frac{1}{2^{2x}}\right)+14=9y$$
$$2\left(2^x+\frac{1}{2^x}\right)^2-4\cdot 2^x\cdot \frac{1}{2^x}+14=9y$$
$$2y^2-4+14=9y$$
$$2y^2-9y+10=0.$$

$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=81-80=1,$$

$$y_1=\frac{9-1}{2\cdot 2}=2,\qquad y_2=\frac{9+1}{2\cdot 2}=\frac52.$$

1) Если $$2^x+\frac{1}{2^x}=2,$$ то

$$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0$$
$$\left(2^x-1\right)^2=0$$
$$2^x=1$$
$$x=0.$$

2) Если $$2^x+\frac{1}{2^x}=\frac52,$$ то

$$2^{2x}-\frac52\cdot 2^x+1=0$$
$$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+2=0.$$

Пусть $$t=2^x.$$ Тогда

$$2t^2-5t+2=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1,$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

Итак, $$x=-1,\,0,\,1.$$

2) Пусть $$y=3^x+\frac{1}{3^x}.$$ Тогда

$$9^{x+\frac12}+\frac{3}{9^x}+26=16\left(3^x+3^{-x}\right)$$
$$3\cdot 9^x+\frac{3}{9^x}+26=16y$$
$$3\left(3^{2x}+\frac{1}{3^{2x}}\right)+26=16y$$
$$3\left(3^x+\frac{1}{3^x}\right)^2-6\cdot 3^x\cdot \frac{1}{3^x}+26=16y$$
$$3y^2-16y+20=0.$$

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot 20=256-240=16,$$

$$y_1=\frac{16-4}{2\cdot 3}=2,\qquad y_2=\frac{16+4}{2\cdot 3}=\frac{10}{3}.$$

1) Если $$3^x+\frac{1}{3^x}=2,$$ то

$$3^{2x}-2\cdot 3^x+1=0$$
$$\left(3^x-1\right)^2=0$$
$$3^x=1$$
$$x=0.$$

2) Если $$3^x+\frac{1}{3^x}=\frac{10}{3},$$ то

$$3^{2x}-\frac{10}{3}\cdot 3^x+1=0$$
$$3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0.$$

Пусть $$t=3^x.$$ Тогда

$$3t^2-10t+3=0,$$
$$D=100-36=64,$$
$$t_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad t_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1,$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

Итак, $$x=-1,\,0,\,1.$$