Упр.2.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)^x=8$$.

Пусть $$y=\sqrt{4+\sqrt{15}}.$$ Тогда

$$\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)^x=8.$$

Заметим, что

$$\sqrt{4-\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{15}}},$$

так как

$$\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)=16-15=1.$$

Следовательно, уравнение можно записать так:

$$y^x+y^{-x}=8.$$

Обозначим $$t=y^x$$, тогда $$t>0$$ и

$$t+\frac{1}{t}=8.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-8t+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 1=64-4=60,$$

$$t=\frac{8\pm\sqrt{60}}{2}=\frac{8\pm 2\sqrt{15}}{2}=4\pm\sqrt{15}.$$

Значит,

$$y^x=4+\sqrt{15} \quad \text{или} \quad y^x=4-\sqrt{15}.$$

Так как $$y=\sqrt{4+\sqrt{15}},$$ то

$$4+\sqrt{15}=y^2,$$

а также

$$4-\sqrt{15}=\frac{1}{4+\sqrt{15}}=y^{-2}.$$

Тогда получаем:

$$y^x=y^2 \Rightarrow x=2,$$

$$y^x=y^{-2} \Rightarrow x=-2.$$

Ответ

$$-2;\ 2$$