Упр.2.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 2.20. Решите уравнение v(1+3^x-9^x)=v(4-3·3^x).

Рассмотрим уравнение:

$$\sqrt{1+3^x-9^x}=\sqrt{4-3\cdot 3^x}.$$

Так как корни равны, то равны и подкоренные выражения:

$$1+3^x-9^x=4-3\cdot 3^x.$$

Положим $$t=3^x$$, тогда $$9^x=(3^x)^2=t^2$$. Получаем:

$$1+t-t^2=4-3t.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$t^2-4t+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$

Тогда

$$t_1=1,\quad t_2=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

Проверим оба значения в исходном уравнении:

при $$x=0$$: $$\sqrt{1+3^0-9^0}=\sqrt{1+1-1}=1,$$

$$\sqrt{4-3\cdot 3^0}=\sqrt{4-3}=1;$$

при $$x=1$$: $$\sqrt{1+3^1-9^1}=\sqrt{1+3-9}$$ — подкоренное выражение отрицательно, значит $$x=1$$ не подходит.

Следовательно, подходит только $$x=0$$.

Ответ

$$0$$