Упр.2.19 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 2.19. Решите уравнение v(4^x-2^x-3)=v(4·2^x-7).

Пусть $$t=2^x$$, тогда $$4^x=(2^x)^2=t^2$$. Получаем уравнение

$$t^2-t-3=4t-7.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$t^2-5t+4=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0.$$

Отсюда

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Проверка:

$$\sqrt{4^0-2^0-3}=\sqrt{1-1-3}=\sqrt{-3},$$

$$\sqrt{4\cdot 2^0-7}=\sqrt{4-7}=\sqrt{-3};$$

$$\sqrt{4^2-2^2-3}=\sqrt{16-4-3}=\sqrt{9},$$

$$\sqrt{4\cdot 2^2-7}=\sqrt{16-7}=\sqrt{9}.$$

Оба найденных значения подходят.

Ответ

$$x=0,\;2.$$