Упр.2.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 4·9^x-7·12^x+3·16^x=0; 2) 5·2^x+2·5^x=7·10^(x/2).

1) $$4\cdot 9^x-7\cdot 12^x+3\cdot 16^x=0$$

Представим степени через $$3^x$$ и $$4^x$$:

$$4\cdot 3^{2x}-7\cdot 3^x4^x+3\cdot 4^{2x}=0.$$

Положим $$t=\left(\frac34\right)^x$$. Тогда

$$4t^2-7t+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=49-48=1,$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8}.$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=\frac34.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$\left(\frac34\right)^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$\left(\frac34\right)^x=\frac34 \Rightarrow x=1.$$

2) $$5\cdot 2^x+2\cdot 5^x=7\cdot 10^{x/2}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5\cdot 2^x-7\cdot 10^{x/2}+2\cdot 5^x=0.$$

Положим $$t=\left(\frac25\right)^{x/2}.$$ Тогда

$$5t^2-7t+2=0.$$

Найдём корни:

$$D=49-40=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{10}.$$

Следовательно,

$$t_1=1,\qquad t_2=\frac25.$$

Тогда

$$\left(\frac25\right)^{x/2}=1 \Rightarrow x=0,$$

$$\left(\frac25\right)^{x/2}=\frac25 \Rightarrow \frac{x}{2}=1 \Rightarrow x=2.$$

Ответ

1) $$0,\ 1$$; 2) $$0,\ 2$$.