Упр.2.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 8^(2/x)-2^((2x+3)/x)-32=0; 3) 2^(cos(2x))-3·2^(cos^2(x))+4=0.
2) 5^(v(x-2))-5^(1-v(x-2))-4=0;

1) $$8^{\frac{2}{x}}-2^{\frac{2x+3}{x}}-32=0.$$

Представим всё через основание $$2$$:

$$ 2^{\frac{6}{x}}-2^2\cdot 2^{\frac{3}{x}}-32=0. $$

Обозначим $$t=2^{\frac{3}{x}}$$, тогда $$2^{\frac{6}{x}}=t^2$$. Получаем:

$$ t^2-4t-32=0. $$

$$ D=16+128=144,\quad t_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}. $$

$$ t_1=8,\quad t_2=-4. $$

Так как $$t=2^{\frac{3}{x}}>0$$, подходит только $$t=8$$:

$$ 2^{\frac{3}{x}}=8=2^3 \Rightarrow \frac{3}{x}=3 \Rightarrow x=1. $$

2) $$5^{\sqrt{x-2}}-5^{1-\sqrt{x-2}}-4=0.$$

Пусть $$t=5^{\sqrt{x-2}}$$, тогда

$$ 5^{1-\sqrt{x-2}}=\frac{5}{t}. $$

Получаем уравнение:

$$ t-\frac{5}{t}-4=0. $$

Умножим на $$t$$:

$$ t^2-4t-5=0. $$

$$ D=16+20=36,\quad t_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}. $$

$$ t_1=5,\quad t_2=-1. $$

Так как $$t>0$$, берём $$t=5$$:

$$ 5^{\sqrt{x-2}}=5 \Rightarrow \sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3. $$

3) $$2^{\cos 2x}-3\cdot 2^{\cos^2 x}+4=0.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$ 2^{2\cos^2 x-1}-3\cdot 2^{\cos^2 x}+4=0. $$

Пусть $$t=2^{\cos^2 x}$$. Тогда

$$ 2^{2\cos^2 x-1}=\frac{1}{2}t^2. $$

Получаем:

$$ \frac{1}{2}t^2-3t+4=0. $$

Умножим на $$2$$:

$$ t^2-6t+8=0. $$

$$ D=36-32=4,\quad t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}. $$

$$ t_1=2,\quad t_2=4. $$

1) $$2^{\cos^2 x}=2 \Rightarrow \cos^2 x=1 \Rightarrow \cos x=\pm 1 \Rightarrow x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$2^{\cos^2 x}=4 \Rightarrow \cos^2 x=2,$$ что невозможно.

Значит, $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=3$$; 3) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$