Упр.2.15 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите уравнение:
1) $$27^{\frac{2}{x}}-2\cdot3^{\frac{x+3}{x}}-27=0$$;
5) $$5\cdot2^{\cos^2(x)}-2^{\sin^2(x)}=3$$;
2) $$(49^x)^{\frac{1}{3}}-50\cdot(7^{x-3})^{\frac{1}{3}}+1=0$$;
6) $$4^{\cos(2x)}+4^{\cos^2(x)}=3$$;
3) $$2^{\sqrt{x+1}}=3\cdot2^{2-\sqrt{x+1}}+1$$;
7) $$4^{\operatorname{tg}^2(x)}+2^{\frac{1}{\cos^2(x)}}-80=0$$;
4) $$3^{\sqrt{x-5}}+3^{2-\sqrt{x-5}}=6$$.
$$27^{\frac{2}{x}}-2\cdot 3^{\frac{x+3}{x}}-27=0$$
$$3^{\frac{6}{x}}-2\cdot 3\cdot 3^{\frac{3}{x}}-27=0$$
Положим $$t=3^{\frac{3}{x}}$$, тогда $$3^{\frac{6}{x}}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-6t-27=0$$
$$D=36+108=144$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=9$$
Так как $$t=3^{\frac{3}{x}}>0$$, то подходит только $$t=9$$:
$$3^{\frac{3}{x}}=9=3^2$$
$$\frac{3}{x}=2,\quad x=\frac{3}{2}$$
$$\sqrt[3]{49^x}-50\sqrt[3]{7^{x-3}}+1=0$$
$$7^{\frac{2x}{3}}-50\cdot 7^{\frac{x}{3}-1}+1=0$$
Положим $$t=7^{\frac{x}{3}}$$. Тогда $$7^{\frac{2x}{3}}=t^2$$, а $$7^{\frac{x}{3}-1}=\frac{t}{7}$$:
$$t^2-\frac{50}{7}t+1=0$$
$$7t^2-50t+7=0$$
$$D=2500-196=2304$$
$$t_{1,2}=\frac{50\pm 48}{14}$$
$$t_1=\frac{1}{7},\quad t_2=7$$
Тогда:
$$7^{\frac{x}{3}}=\frac{1}{7}=7^{-1}\Rightarrow \frac{x}{3}=-1\Rightarrow x=-3$$
$$7^{\frac{x}{3}}=7\Rightarrow \frac{x}{3}=1\Rightarrow x=3$$
$$2^{\sqrt{x+1}}=3\cdot 2^{2-\sqrt{x+1}}+1$$
Положим $$t=2^{\sqrt{x+1}}$$. Тогда
$$2^{2-\sqrt{x+1}}=\frac{4}{t}$$
Получаем:
$$t=3\cdot \frac{4}{t}+1$$
$$t^2-t-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=4$$
Так как $$t>0$$, то $$t=4$$:
$$2^{\sqrt{x+1}}=4=2^2$$
$$\sqrt{x+1}=2,\quad x+1=4,\quad x=3$$
$$3^{\sqrt{x-5}}+3^{2-\sqrt{x-5}}=6$$
Положим $$t=3^{\sqrt{x-5}}$$. Тогда $$3^{2-\sqrt{x-5}}=\frac{9}{t}$$:
$$t+\frac{9}{t}=6$$
$$t^2-6t+9=0$$
$$\left(t-3\right)^2=0$$
$$t=3$$
$$3^{\sqrt{x-5}}=3$$
$$\sqrt{x-5}=1,\quad x-5=1,\quad x=6$$
$$5\cdot 2^{\cos^2 x}-2^{\sin^2 x}=3$$
Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, то
$$5\cdot 2^{\cos^2 x}-2^{1-\cos^2 x}=3$$
Положим $$t=2^{\cos^2 x}$$. Тогда $$2^{1-\cos^2 x}=\frac{2}{t}$$:
$$5t-\frac{2}{t}=3$$
$$5t^2-3t-2=0$$
$$D=9+40=49$$
$$t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{10}$$
$$t_1=-\frac{2}{5},\quad t_2=1$$
Так как $$t>0$$, то $$t=1$$:
$$2^{\cos^2 x}=1$$
$$\cos^2 x=0,\quad \cos x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$4^{\cos 2x}+4^{\cos^2 x}=3$$
Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$4^{2\cos^2 x-1}+4^{\cos^2 x}=3$$
Положим $$t=4^{\cos^2 x}$$. Тогда
$$4^{2\cos^2 x-1}=\frac{t^2}{4}$$
Получаем:
$$\frac{t^2}{4}+t=3$$
$$t^2+4t-12=0$$
$$D=16+48=64$$
$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2}$$
$$t_1=-6,\quad t_2=2$$
Так как $$t>0$$, то $$t=2$$:
$$4^{\cos^2 x}=2$$
$$2^{2\cos^2 x}=2^1$$
$$2\cos^2 x=1,\quad \cos^2 x=\frac12$$
$$\cos 2x=0$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$4^{\tg^2 x}+2^{\frac{1}{\cos^2 x}}-80=0$$
Так как $$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x$$, то
$$2^{2\tg^2 x}+2^{1+\tg^2 x}-80=0$$
Положим $$t=2^{\tg^2 x}$$. Тогда $$2^{2\tg^2 x}=t^2$$, $$2^{1+\tg^2 x}=2t$$:
$$t^2+2t-80=0$$
$$D=4+320=324$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 18}{2}$$
$$t_1=-10,\quad t_2=8$$
Так как $$t>0$$, то $$t=8$$:
$$2^{\tg^2 x}=8=2^3$$
$$\tg^2 x=3,\quad \tg x=\pm \sqrt{3}$$
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
Ответ
1) $$x=\frac{3}{2}$$; 2) $$x=-3,\ 3$$; 3) $$x=3$$; 4) $$x=6$$; 5) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; 6) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$; 7) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.
