Упр.2.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot7^{x-2}$$;
   2) $$5^x-2\cdot5^{x-1}=3^{x+1}-2\cdot3^{x-2}$$;
   3) $$2^{vx+1}-3^{vx}=3^{vx-1}-2^{vx}$$.

1. $$6^x+6^{x-1}-6^{x-2}=7^x-8\cdot 7^{x-2}$$

   Вынесем степени с одинаковым основанием:
   $$6^x+6^x\cdot 6^{-1}-6^x\cdot 6^{-2}=7^x-8\cdot 7^x\cdot 7^{-2}$$

   $$6^x\left(1+\frac16-\frac1{36}\right)=7^x\left(1-\frac8{49}\right)$$

   $$6^x\cdot \frac{41}{36}=7^x\cdot \frac{41}{49}$$

   $$\left(\frac67\right)^x=\frac{36}{49}=\left(\frac67\right)^2$$

   Значит, $$x=2$$.

2. $$5^x-2\cdot 5^{x-1}=3^{x+1}-2\cdot 3^{x-2}$$

   Преобразуем степени:
   $$5^x-2\cdot 5^x\cdot 5^{-1}=3^x\cdot 3-2\cdot 3^x\cdot 3^{-2}$$

   $$5^x\left(1-\frac25\right)=3^x\left(3-\frac29\right)$$

   $$5^x\cdot \frac35=3^x\cdot \frac{25}{9}$$

   $$\left(\frac53\right)^x=\frac{125}{27}=\left(\frac53\right)^3$$

   Следовательно, $$x=3$$.

3. $$2^{\sqrt{x}+1}-3^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}-1}-2^{\sqrt{x}}$$

   Перенесём слагаемые и вынесем общий множитель:
   $$2^{\sqrt{x}}\cdot 2+2^{\sqrt{x}}=3^{\sqrt{x}}+3^{\sqrt{x}}\cdot 3^{-1}$$

   $$2^{\sqrt{x}}(2+1)=3^{\sqrt{x}}\left(1+\frac13\right)$$

   $$2^{\sqrt{x}}\cdot 3=3^{\sqrt{x}}\cdot \frac43$$

   $$\left(\frac23\right)^{\sqrt{x}}=\frac49=\left(\frac23\right)^2$$

   Тогда $$\sqrt{x}=2$$, откуда $$x=4$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$3$$; 3) $$4$$.