Упр.2.12 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 3^(2x+1)-10·3^x+3=0; 4) 4^(x+0,5)+7·2^x=4;
2) 3^(3-2x)-3·2^(1-x)+1=0; 5) 3·5^(2x-1)-2·5^(x-1)=0,2;
3) 5^x-0,2^(x-1)=4; 6) 5/(3^x-6)+5/(3^x+6)=2.

Подробный ответ

$$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3=0$$
$$3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0$$
Обозначим $$t=3^x$$, тогда получаем:
$$3t^2-10t+3=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$
$$t_1=\frac13,\quad t_2=3$$
Тогда:
$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1$$
$$3^x=3 \Rightarrow x=1$$
$$3^{3-2x}-3\cdot 2^{1-x}+1=0$$
$$\frac{27}{3^{2x}}-\frac{6}{2^x}+1=0$$
Обозначим $$t=2^x$$, тогда:
$$\frac{8}{t^2}-\frac{6}{t}+1=0$$
Умножим на $$t^2$$:
$$t^2-6t+8=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=4$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
$$t_1=2,\quad t_2=4$$
Тогда:
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$
$$2^x=4 \Rightarrow x=2$$
$$5^x-0{,}2^{\,x-1}=4$$
Так как $$0{,}2=\frac15$$, то:
$$5^x-\left(\frac15\right)^{x-1}=4$$
$$5^x-5\cdot 5^{-x}=4$$
$$5^{2x}-4\cdot 5^x-5=0$$
Обозначим $$t=5^x$$, тогда:
$$t^2-4t-5=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=5$$
Так как $$5^x>0$$, подходит только $$t=5$$:
$$5^x=5 \Rightarrow x=1$$
$$4^{x+0{,}5}+7\cdot 2^x=4$$
$$2\cdot 4^x+7\cdot 2^x-4=0$$
$$2\cdot 2^{2x}+7\cdot 2^x-4=0$$
Обозначим $$t=2^x$$, тогда:
$$2t^2+7t-4=0$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot (-4)=81$$
$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{4}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=\frac12$$
Так как $$2^x>0$$, подходит только $$t=\frac12$$:
$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1$$
$$3\cdot 5^{2x-1}-2\cdot 5^{x-1}=0{,}2$$
$$3\cdot \frac{5^{2x}}{5}-2\cdot \frac{5^x}{5}=\frac15$$
Умножим на $$5$$:
$$3\cdot 5^{2x}-2\cdot 5^x-1=0$$
Обозначим $$t=5^x$$, тогда:
$$3t^2-2t-1=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 1=16$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$
$$t_1=-\frac13,\quad t_2=1$$
Так как $$5^x>0$$, подходит только $$t=1$$:
$$5^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$\frac{5}{3^x-6}+\frac{5}{3^x+6}=2$$
Обозначим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$t\ne 6$$:
$$\frac{5}{t-6}+\frac{5}{t+6}=2$$
$$5(t+6)+5(t-6)=2(t^2-36)$$
$$10t=2t^2-72$$
$$t^2-5t-36=0$$
$$D=5^2+4\cdot 36=169$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=9$$
Так как $$t=3^x>0$$, подходит только $$t=9$$:
$$3^x=9 \Rightarrow x=2$$