Упр.2.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) 2^(2x+1)-5·2^x+2=0; 4) 9^x-6·3^(x-1)=3;
2) 4^(x+1)+4^(1-x)=10; 5) 3^(x+1)+3^(2-x)=28;
3) 5^(2x-3)-2·5^(x-2)=3; 6) 9/(2^x-1)-21/(2^x+1)=2.

Подробный ответ

$$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2=0$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{2x+1}=2(2^x)^2=2t^2$$. Получаем:
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$t_1=\frac12,\quad t_2=2$$
Тогда:
$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$
$$4^{x+1}+4^{1-x}=10$$
Положим $$t=4^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^{x+1}=4t,\; 4^{1-x}=\frac{4}{t}$$. Умножим уравнение на $$t$$:
$$4t^2-10t+4=0$$
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$
$$t_1=\frac12,\quad t_2=2$$
Тогда:
$$4^x=\frac12 \Rightarrow 2^{2x}=2^{-1} \Rightarrow x=-\frac12$$
$$4^x=2 \Rightarrow 2^{2x}=2^1 \Rightarrow x=\frac12$$
$$5^{2x-3}-2\cdot 5^{x-2}=3$$
Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем:
$$\frac{t^2}{125}-2\cdot \frac{t}{25}-3=0$$
Умножим на $$125$$:
$$t^2-10t-375=0$$
$$D=100+1500=1600$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 40}{2}$$
$$t_1=-15,\quad t_2=25$$
Так как $$t>0$$, подходит только $$t=25$$. Тогда:
$$5^x=25=5^2 \Rightarrow x=2$$
$$9^x-6\cdot 3^{x-1}=3$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:
$$3^{2x}-6\cdot \frac{3^x}{3}-3=0$$
$$t^2-2t-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=3$$
Подходит только $$t=3$$, значит:
$$3^x=3 \Rightarrow x=1$$
$$3^{x+1}+3^{2-x}=28$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Тогда:
$$3t+\frac{9}{t}=28$$
Умножим на $$t$$:
$$3t^2-28t+9=0$$
$$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676$$
$$t_{1,2}=\frac{28\pm 26}{6}$$
$$t_1=\frac13,\quad t_2=9$$
Тогда:
$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1$$
$$3^x=9 \Rightarrow x=2$$
$$\frac{9}{2^x-1}-\frac{21}{2^x+1}=2$$
Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$, $$t\neq 1$$, $$t\neq -1$$. Получаем:
$$\frac{9}{t-1}-\frac{21}{t+1}=2$$
Умножим на $$\left(t-1\right)\left(t+1\right)$$:
$$9(t+1)-21(t-1)=2(t^2-1)$$
$$9t+9-21t+21=2t^2-2$$
$$2t^2+12t-32=0$$
$$t^2+6t-16=0$$
$$D=36+64=100$$
$$t_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}$$
$$t_1=-8,\quad t_2=2$$
Так как $$t>0$$, подходит только $$t=2$$. Тогда:
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$