Упр.2.11 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2=0$$;
   4) $$9^x-6\cdot 3^{x-1}=3$$;
   2) $$4^{x+1}+4^{1-x}=10$$;
   5) $$3^{x+1}+3^{2-x}=28$$;
   3) $$5^{2x-3}-2\cdot 5^{x-2}=3$$;
   6) $$\frac{9}{2^x-1}-\frac{21}{2^x+1}=2$$.

1. $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x+2=0$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{2x+1}=2(2^x)^2=2t^2$$. Получаем:

   $$2t^2-5t+2=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=2$$

   Тогда:

   $$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1$$

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

2. $$4^{x+1}+4^{1-x}=10$$

   Положим $$t=4^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^{x+1}=4t,\; 4^{1-x}=\frac{4}{t}$$. Умножим уравнение на $$t$$:

   $$4t^2-10t+4=0$$

   $$2t^2-5t+2=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=2$$

   Тогда:

   $$4^x=\frac12 \Rightarrow 2^{2x}=2^{-1} \Rightarrow x=-\frac12$$

   $$4^x=2 \Rightarrow 2^{2x}=2^1 \Rightarrow x=\frac12$$

3. $$5^{2x-3}-2\cdot 5^{x-2}=3$$

   Положим $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$. Имеем:

   $$\frac{t^2}{125}-2\cdot \frac{t}{25}-3=0$$

   Умножим на $$125$$:

   $$t^2-10t-375=0$$

   $$D=100+1500=1600$$

   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 40}{2}$$

   $$t_1=-15,\quad t_2=25$$

   Так как $$t>0$$, подходит только $$t=25$$. Тогда:

   $$5^x=25=5^2 \Rightarrow x=2$$

4. $$9^x-6\cdot 3^{x-1}=3$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:

   $$3^{2x}-6\cdot \frac{3^x}{3}-3=0$$

   $$t^2-2t-3=0$$

   $$D=4+12=16$$

   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=3$$

   Подходит только $$t=3$$, значит:

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1$$

5. $$3^{x+1}+3^{2-x}=28$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Тогда:

   $$3t+\frac{9}{t}=28$$

   Умножим на $$t$$:

   $$3t^2-28t+9=0$$

   $$D=28^2-4\cdot 3\cdot 9=784-108=676$$

   $$t_{1,2}=\frac{28\pm 26}{6}$$

   $$t_1=\frac13,\quad t_2=9$$

   Тогда:

   $$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1$$

   $$3^x=9 \Rightarrow x=2$$

6. $$\frac{9}{2^x-1}-\frac{21}{2^x+1}=2$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$, $$t\neq 1$$, $$t\neq -1$$. Получаем:

   $$\frac{9}{t-1}-\frac{21}{t+1}=2$$

   Умножим на $$\left(t-1\right)\left(t+1\right)$$:

   $$9(t+1)-21(t-1)=2(t^2-1)$$

   $$9t+9-21t+21=2t^2-2$$

   $$2t^2+12t-32=0$$

   $$t^2+6t-16=0$$

   $$D=36+64=100$$

   $$t_{1,2}=\frac{-6\pm 10}{2}$$

   $$t_1=-8,\quad t_2=2$$

   Так как $$t>0$$, подходит только $$t=2$$. Тогда:

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

Ответ

1) $$-1; 1$$
2) $$-\frac12; \frac12$$
3) $$2$$
4) $$1$$
5) $$-1; 2$$
6) $$1$$