Упр.197 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) a(a-8) > 2(a-13) при всех действительных значениях а;
2) x^2+4y^2+6x+4y+10?0 при всех действительных значениях x и у;
3) x^2+10xy+26y^2-12y+40 > 0 при всех действительных значениях х и y;
4) ab(a+b)?a^3+b^3, если a < 0, b < 0; 5) m^3+2m^2-4m-8 > 0, если m > 2;
6) (a^2+5)/v(a^2+4) > 2 при всех действительных значениях а.

Подробный ответ

$$a(a-8)>2(a-13)$$
$$a^2-8a>2a-26$$
$$a^2-10a+26>0$$
$$a^2-10a+25+1>0$$
$$(a-5)^2+1>0$$
Неравенство верно при всех действительных значениях $$a$$.
$$x^2+4y^2+6x+4y+10\ge 0$$
$$(x^2+6x+9)+(4y^2+4y+1)\ge 0$$
$$(x+3)^2+(2y+1)^2\ge 0$$
Неравенство верно при всех действительных значениях $$x$$ и $$y$$.
$$x^2+10xy+26y^2-12y+40>0$$
$$(x^2+10xy+25y^2)+(y^2-12y+36)+4>0$$
$$(x+5y)^2+(y-6)^2+4>0$$
Неравенство верно при всех действительных значениях $$x$$ и $$y$$.
$$ab(a+b)>a^3+b^3,\quad a<0,\ b<0$$
$$ab(a+b)-(a^3+b^3)>0$$
$$(a+b)(ab-a^2+ab-b^2)>0$$
$$(a+b)(2ab-a^2-b^2)>0$$
$$(a+b)\bigl(-(a-b)^2\bigr)>0$$
Так как $$a<0$$ и $$b<0$$, то $$a+b<0$$, а $$-(a-b)^2\le 0$$. Следовательно, произведение положительно, и неравенство верно.
$$m^3+2m^2-4m-8>0,\quad m>2$$
$$(m^3-8)+(2m^2-4m)>0$$
$$(m-2)(m^2+2m+4)+2m(m-2)>0$$
$$(m-2)(m^2+4m+4)>0$$
$$(m-2)(m+2)^2>0$$
Так как $$m>2$$, то $$m-2>0$$, а $$ (m+2)^2>0$$. Значит, неравенство верно.
$$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}>2,\quad a\in \mathbb{R}$$
Так как $$\sqrt{a^2+4}>0$$, умножим обе части на $$\sqrt{a^2+4}$$:
$$a^2+5>2\sqrt{a^2+4}$$
Перенесём всё в одну сторону и рассмотрим разность:
$$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}-2=\frac{a^2+5-2\sqrt{a^2+4}}{\sqrt{a^2+4}}$$
$$\frac{(\sqrt{a^2+4}-1)^2}{\sqrt{a^2+4}}>0$$
Следовательно, неравенство верно при всех действительных значениях $$a$$.