Упр.195 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) {x^2+y^2=a, |x|=2}; 2) {x^2+y^2=9, y=a+|x|}; 3) {x^2+y^2=a^2, xy=8}?

1. $$ \begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |x|=2 \end{cases} $$

   Из условия $$|x|=2$$ получаем $$x^2=4$$. Тогда

   $$ 4+y^2=a,\qquad y^2=a-4. $$

   Чтобы система имела решения, нужно $$a-4\ge 0$$, то есть $$a\ge 4$$.

   Если $$a>4$$, то $$y=\pm\sqrt{a-4}$$, и при $$x=2$$ и $$x=-2$$ получаем 4 решения.

   Если $$a=4$$, то $$y=0$$, и получаем 2 решения.

   Если $$a<4$$, решений нет.

2. $$ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=a+|x| \end{cases} $$

   Подставим $$y=a+|x|$$ в первое уравнение:

   $$ x^2+(a+|x|)^2=9. $$

   Обозначим $$t=|x|\ge 0$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и получаем

   $$ t^2+(a+t)^2=9, $$

   $$ 2t^2+2at+(a^2-9)=0. $$

   Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Для существования решений нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен:

   $$ D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-9)=72-4a^2\ge 0, $$

   откуда

   $$ a^2\le 18,\qquad |a|\le 3\sqrt2. $$

   Далее учитываем число точек пересечения графиков:

   $$ 4 \text{ решения, если } -3\sqrt2<a<-3; $$

   $$ 3 \text{ решения, если } a=-3; $$

   $$ 2 \text{ решения, если } -3\sqrt2\le a<-3 \text{ или } -3<a<3; $$

   $$ 1 \text{ решение, если } a=3; $$

   $$ 0 \text{ решений, если } a<-3\sqrt2 \text{ или } a>3. $$

3. $$ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=8 \end{cases} $$

   Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$ y=\frac{8}{x},\qquad x\ne 0. $$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ x^2+\left(\frac{8}{x}\right)^2=a^2, $$

   $$ x^2+\frac{64}{x^2}=a^2. $$

   Умножим на $$x^2$$:

   $$ x^4-a^2x^2+64=0. $$

   Это квадратное уравнение относительно $$x^2$$. Его дискриминант:

   $$ D=a^4-256. $$

   Чтобы были решения, нужно

   $$ a^4-256\ge 0,\qquad a^4\ge 16^2,\qquad |a|\ge 4. $$

   При $$|a|>4$$ система имеет 4 решения, при $$|a|=4$$ — 2 решения, а при $$|a|<4$$ решений нет.

Ответ

1) $$4$$ решения, если $$a>4$$; $$2$$ решения, если $$a=4$$; $$0$$ решений, если $$a<4$$.

2) $$4$$ решения, если $$-3\sqrt2<a<-3$$; $$3$$ решения, если $$a=-3$$; $$2$$ решения, если $$-3\sqrt2\le a<-3$$ или $$-3<a<3$$; $$1$$ решение, если $$a=3$$; $$0$$ решений, если $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3$$.

3) $$4$$ решения, если $$a<-4$$ или $$a>4$$; $$2$$ решения, если $$a=-4$$ или $$a=4$$; $$0$$ решений, если $$-4<a<4$$.