Упр.195 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Сколько решений в зависимости от значения $$a$$ имеет система уравнений:
   1) $$\begin{cases}x^2+y^2=a,\\ |x|=2;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}x^2+y^2=9,\\ y=a+|x|;\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}x^2+y^2=a^2,\\ xy=8? \end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |x|=2 \end{cases}$$

   Из условия $$|x|=2$$ получаем $$x^2=4$$. Тогда

   $$4+y^2=a,\qquad y^2=a-4.$$

   Чтобы система имела решения, нужно $$a-4\ge 0$$, то есть $$a\ge 4$$.

   Если $$a>4$$, то $$y=\pm\sqrt{a-4}$$, и при $$x=2$$ и $$x=-2$$ получаем 4 решения.

   Если $$a=4$$, то $$y=0$$, и получаем 2 решения.

   Если $$a<4$$, решений нет.

2. $$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=a+|x| \end{cases}$$

   Подставим $$y=a+|x|$$ в первое уравнение:

   $$x^2+(a+|x|)^2=9.$$

   Обозначим $$t=|x|\ge 0$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и получаем

   $$t^2+(a+t)^2=9,$$

   $$2t^2+2at+(a^2-9)=0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Для существования решений нужно, чтобы его дискриминант был неотрицателен:

   $$D=(2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-9)=72-4a^2\ge 0,$$

   откуда

   $$a^2\le 18,\qquad |a|\le 3\sqrt2.$$

   Далее учитываем число точек пересечения графиков:

   $$4 \text{ решения, если } -3\sqrt2<a<-3;$$

   $$3 \text{ решения, если } a=-3;$$

   $$2 \text{ решения, если } -3\sqrt2\le a<-3 \text{ или } -3<a<3;$$

   $$1 \text{ решение, если } a=3;$$

   $$0 \text{ решений, если } a<-3\sqrt2 \text{ или } a>3.$$

3. $$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ xy=8 \end{cases}$$

   Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=\frac{8}{x},\qquad x\ne 0.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+\left(\frac{8}{x}\right)^2=a^2,$$

   $$x^2+\frac{64}{x^2}=a^2.$$

   Умножим на $$x^2$$:

   $$x^4-a^2x^2+64=0.$$

   Это квадратное уравнение относительно $$x^2$$. Его дискриминант:

   $$D=a^4-256.$$

   Чтобы были решения, нужно

   $$a^4-256\ge 0,\qquad a^4\ge 16^2,\qquad |a|\ge 4.$$

   При $$|a|>4$$ система имеет 4 решения, при $$|a|=4$$ — 2 решения, а при $$|a|<4$$ решений нет.

Ответ

1) $$4$$ решения, если $$a>4$$; $$2$$ решения, если $$a=4$$; $$0$$ решений, если $$a<4$$.

2) $$4$$ решения, если $$-3\sqrt2<a<-3$$; $$3$$ решения, если $$a=-3$$; $$2$$ решения, если $$-3\sqrt2\le a<-3$$ или $$-3<a<3$$; $$1$$ решение, если $$a=3$$; $$0$$ решений, если $$a<-3\sqrt2$$ или $$a>3$$.

3) $$4$$ решения, если $$a<-4$$ или $$a>4$$; $$2$$ решения, если $$a=-4$$ или $$a=4$$; $$0$$ решений, если $$-4<a<4$$.