Упр.192 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите графически систему уравнений:

1. 1) $$\begin{cases} y-x=0, \\ 2x+y=-6 \end{cases}$$;
   2) $$\begin{cases} x+y=-1, \\ 2x+2y=-3 \end{cases}$$;
   3) $$\begin{cases} x^2-y=6, \\ x+y=6 \end{cases}$$;
   4) $$\begin{cases} (x+2)^2+y^2=10, \\ x-y+4=0 \end{cases}$$;
   5) $$\begin{cases} xy=8, \\ x+y=-6 \end{cases}$$;
   6) $$\begin{cases} x^2+y^2=13, \\ xy=6 \end{cases}$$.

1. $$\begin{cases} y-x=0,\\ 2x+y=-6 \end{cases}$$
   Из первого уравнения получаем $$y=x$$. Подставим во второе:
   $$2x+x=-6,$$
   $$3x=-6,$$
   $$x=-2,$$
   $$y=-2.$$

   Ответ: $$(-2;\,-2)$$.

2. $$\begin{cases} x+y=-1,\\ 2x+2y=-3 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$:
   $$2x+2y=-2.$$
   Получили противоречие с уравнением $$2x+2y=-3$$, значит, система решений не имеет.

   Ответ: решений нет.

3. $$\begin{cases} x^2-y=6,\\ x+y=6 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=6-x.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2-(6-x)=6,$$
   $$x^2+x-12=0,$$
   $$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0.$$
   Тогда $$x=-4$$ или $$x=3$$.

   Если $$x=-4$$, то $$y=6-(-4)=10$$.
   Если $$x=3$$, то $$y=6-3=3$$.

   Ответ: $$(-4;\,10),\ (3;\,3)$$.

4. $$\begin{cases} (x+2)^2+y^2=10,\\ x-y+4=0 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=x+4.$$
   Подставим в первое:
   $$\left(x+2\right)^2+\left(x+4\right)^2=10,$$
   $$x^2+4x+4+x^2+8x+16=10,$$
   $$2x^2+12x+10=0,$$
   $$x^2+6x+5=0,$$
   $$\left(x+1\right)\left(x+5\right)=0.$$
   Тогда $$x=-1$$ или $$x=-5$$.

   Если $$x=-1$$, то $$y=3$$.
   Если $$x=-5$$, то $$y=-1$$.

   Ответ: $$(-5;\,-1),\ (-1;\,3)$$.

5. $$\begin{cases} xy=8,\\ x+y=-6 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$y=-6-x$$. Подставим в первое:
   $$x(-6-x)=8,$$
   $$x^2+6x+8=0,$$
   $$\left(x+2\right)\left(x+4\right)=0.$$
   Тогда $$x=-2$$ или $$x=-4$$.

   Если $$x=-2$$, то $$y=-4$$.
   Если $$x=-4$$, то $$y=-2$$.

   Ответ: $$(-4;\,-2),\ (-2;\,-4)$$.

6. $$\begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=6 \end{cases}$$
   Используем формулу:
   $$\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2.$$
   Тогда
   $$\left(x+y\right)^2=13+2\cdot 6=25,$$
   $$x+y=5 \text{ или } x+y=-5.$$

   1) Если $$x+y=5$$, то
   $$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=6 \end{cases}$$
   Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-5t+6=0,$$
   $$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0.$$
   Значит, $$t=2$$ или $$t=3$$, откуда точки $$\left(2;\,3\right)$$ и $$\left(3;\,2\right)$$.

   2) Если $$x+y=-5$$, то
   $$\begin{cases} x+y=-5,\\ xy=6 \end{cases}$$
   Тогда
   $$t^2+5t+6=0,$$
   $$\left(t+2\right)\left(t+3\right)=0.$$
   Значит, $$t=-2$$ или $$t=-3$$, откуда точки $$\left(-2;\,-3\right)$$ и $$\left(-3;\,-2\right)$$.

   Ответ: $$(-3;\,-2),\ (-2;\,-3),\ (2;\,3),\ (3;\,2)$$.