Упр.191 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) {x+y+xy=4, xy(x+y)=-21};
2) {x/y-y/x=15/4, 2x-3y=10};
3) {(3x+y)/(x-y)-3(x-y)/(3x+y)=-2, x^2+xy-y^2=-20}.

Подробный ответ

Положим $$t=xy.$$ Тогда из первого уравнения получаем
$$x+y=4-t.$$
Второе уравнение системы примет вид
$$t(4-t)=-21,$$
$$t^2-4t-21=0,$$
$$t_1=-3,\quad t_2=7.$$
1) Если $$xy=-3,$$ то
$$x+y=7.$$
Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$z^2-7z-3=0.$$
Тогда
$$z=\frac{7\pm\sqrt{61}}{2}.$$
Получаем пары
$$\left(\frac{7-\sqrt{61}}{2};\frac{7+\sqrt{61}}{2}\right),\quad \left(\frac{7+\sqrt{61}}{2};\frac{7-\sqrt{61}}{2}\right).$$
2) Если $$xy=7,$$ то
$$x+y=-3.$$
Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$z^2+3z+7=0.$$
Дискриминант отрицателен:
$$D=3^2-4\cdot 7=9-28=-19,$$
значит, действительных решений нет.
Пусть $$u=\frac{x}{y}.$$ Тогда
$$u-\frac{1}{u}=\frac{15}{4},$$
$$4u^2-15u-4=0.$$
Отсюда
$$u_1=-\frac14,\quad u_2=4.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=-\frac14,$$ то $$y=-4x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$2x-3(-4x)=10,$$
$$14x=10,\quad x=\frac57,\quad y=-\frac{20}{7}.$$
2) Если $$\frac{x}{y}=4,$$ то $$y=\frac{x}{4}.$$ Тогда
$$2x-3\cdot\frac{x}{4}=10,$$
$$\frac{5x}{4}=10,\quad x=8,\quad y=2.$$
Пусть
$$u=\frac{3x+y}{x-y}.$$
Тогда первое уравнение системы принимает вид
$$u-\frac{3}{u}=-2,$$
$$u^2+2u-3=0,$$
$$u_1=-3,\quad u_2=1.$$
1) Если $$\frac{3x+y}{x-y}=-3,$$ то
$$3x+y=-3(x-y),$$
$$2y=6x,\quad y=3x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+x\cdot 3x-(3x)^2=-20,$$
$$-5x^2=-20,\quad x^2=4.$$
Следовательно,
$$x=\pm 2,\quad y=\pm 6.$$
Получаем пары:
$$(-2;-6),\quad (2;6).$$
2) Если $$\frac{3x+y}{x-y}=1,$$ то
$$3x+y=x-y,$$
$$2y=-2x,\quad y=-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+x(-x)-(-x)^2=-20,$$
$$-x^2=-20,\quad x^2=20.$$
Тогда
$$x=\pm 2\sqrt5,\quad y=\mp 2\sqrt5.$$