Упр.190 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) {x^2+2xy+y^2=64, x-y=2};
2) {9x^2-6xy+y^2=9, 2x^2+2xy-y^2=11};
3) {x^2-xy=-6, y^2-xy=22};
4) {3x^2+2y^2=18, 3x^2-2y^2=12};
5) {xy-y=-12, 5x-xy=1};
6) {x^2+4y^2=8, xy=2}.
$$\begin{cases} x^2+2xy+y^2=64,\\ x-y=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$y=x-2$$. Подставим в первое:
$$x^2+2x(x-2)+(x-2)^2=64,$$
$$x^2+2x^2-4x+x^2-4x+4=64,$$
$$4x^2-8x-60=0,$$
$$x^2-2x-15=0,$$
$$(x-5)(x+3)=0.$$
Тогда $$x=5$$ или $$x=-3$$.
Найдём $$y$$:
$$x=5 \Rightarrow y=3,$$
$$x=-3 \Rightarrow y=-5.$$Ответ: $$(-3;\,-5),\ (5;\,3).$$
$$\begin{cases} 9x^2-6xy+y^2=9,\\ 2x^2+2xy-y^2=11 \end{cases}$$
Первое уравнение:
$$(3x-y)^2=9,$$
значит,
$$3x-y=3 \quad \text{или} \quad 3x-y=-3.$$1) Если $$3x-y=3,$$ то $$y=3x-3.$$ Подставим во второе уравнение:
$$2x^2+2x(3x-3)-(3x-3)^2=11,$$
$$2x^2+6x^2-6x-9x^2+18x-9=11,$$
$$x^2+12x-20=0.$$
Отсюда
$$x=\frac{-12\pm 16}{2},$$
$$x=-14 \quad \text{или} \quad x=2.$$
Тогда
$$x=-14 \Rightarrow y=-45,$$
$$x=2 \Rightarrow y=3.$$2) Если $$3x-y=-3,$$ то $$y=3x+3.$$ Подставим:
$$2x^2+2x(3x+3)-(3x+3)^2=11,$$
$$2x^2+6x^2+6x-9x^2-18x-9=11,$$
$$x^2-12x-20=0.$$
Отсюда
$$x=\frac{12\pm 16}{2},$$
$$x=-2 \quad \text{или} \quad x=14.$$
Тогда
$$x=-2 \Rightarrow y=-3,$$
$$x=14 \Rightarrow y=45.$$Ответ: $$(-14;\,-45),\ (2;\,3),\ (-2;\,-3),\ (14;\,45).$$
$$\begin{cases} x^2-xy=-6,\\ y^2-xy=22 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$x^2-2xy+y^2=16,$$
$$(x-y)^2=16,$$
$$x-y=4 \quad \text{или} \quad x-y=-4.$$1) Если $$x-y=4,$$ то $$y=x-4.$$ Подставим в первое уравнение:
$$x^2-x(x-4)=-6,$$
$$4x=-6,$$
$$x=-\frac{3}{2}, \quad y=-\frac{11}{2}.$$2) Если $$x-y=-4,$$ то $$y=x+4.$$ Тогда
$$x^2-x(x+4)=-6,$$
$$-4x=-6,$$
$$x=\frac{3}{2}, \quad y=\frac{11}{2}.$$Ответ: $$\left(-\frac{3}{2};\,-\frac{11}{2}\right),\ \left(\frac{3}{2};\,\frac{11}{2}\right).$$
$$\begin{cases} 3x^2+2y^2=18,\\ 3x^2-2y^2=12 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$6x^2=30,$$
$$x^2=5,$$
$$x=\pm \sqrt{5}.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$4y^2=6,$$
$$y^2=\frac{3}{2},$$
$$y=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}.$$Подходят все сочетания знаков:
$$\left(-\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(-\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right).$$Ответ: $$\left(-\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(-\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right),\ \left(\sqrt{5};\,\frac{\sqrt{6}}{2}\right).$$
$$\begin{cases} xy-y=-12,\\ 5x-xy=1 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$5x-y=-11,$$
$$y=5x+11.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5x-x(5x+11)=1,$$
$$5x-5x^2-11x=1,$$
$$5x^2+6x+1=0,$$
$$(5x+1)(x+1)=0.$$
Тогда
$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{5}.$$
Найдём $$y$$:
$$x=-1 \Rightarrow y=6,$$
$$x=-\frac{1}{5} \Rightarrow y=10.$$Ответ: $$(-1;\,6),\ \left(-\frac{1}{5};\,10\right).$$
$$\begin{cases} x^2+4y^2=8,\\ xy=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$y=\frac{2}{x}, \quad x\ne 0.$$
Подставим в первое:
$$x^2+4\left(\frac{2}{x}\right)^2=8,$$
$$x^2+\frac{16}{x^2}=8.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-8x^2+16=0,$$
$$(x^2-4)^2=0,$$
$$x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$
Тогда
$$x=2 \Rightarrow y=1,$$
$$x=-2 \Rightarrow y=-1.$$Ответ: $$(-2;\,-1),\ (2;\,1).$$
