Упр.19.4 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 19.4. Какое количество успешных исходов наименее вероятно в схеме Бернулли с параметрами n=4 и p=75%?

Подробный ответ

Вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $$n=4$$ и $$p=0{,}75$$ получится ровно $$m$$ успешных исходов, равна

$$P_m=C_4^m\cdot 0{,}75^m\cdot 0{,}25^{\,4-m}.$$

Найдём, при каком значении $$m$$ эта вероятность наименьшая. Рассмотрим отношение соседних вероятностей:

$$ \frac{P_m}{P_{m-1}}= \frac{C_4^m\cdot 0{,}75^m\cdot 0{,}25^{\,4-m}}{C_4^{m-1}\cdot 0{,}75^{m-1}\cdot 0{,}25^{\,5-m}} = \frac{4!}{m!(4-m)!}\cdot \frac{(m-1)!(5-m)!}{4!}\cdot \frac{0{,}75}{0{,}25} $$

$$ =3\cdot \frac{5-m}{m}. $$

Для убывания вероятностей нужно, чтобы

$$\frac{P_m}{P_{m-1}}<1,$$

то есть

$$3\cdot \frac{5-m}{m}<1.$$

Решим неравенство:

$$ 15-3m<m, $$

$$ 15<4m, $$

$$ m>3{,}75. $$

Из возможных значений $$m=0,1,2,3,4$$ этому условию удовлетворяет только $$m=4$$. Проверим крайние случаи:

$$ P(0)=0{,}25^4=\left(\frac14\right)^4=\frac1{256}, $$

$$ P(4)=0{,}75^4=\left(\frac34\right)^4=\frac{81}{256}. $$