Упр.19.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. В коробке лежат $$24$$ синих и $$16$$ красных ручек. Дима выбирает наугад ручку из коробки и этой ручкой пишет число на бумаге. Электронный сканер распознаёт число, написанное синей ручкой, с вероятностью $$90\%$$, а число, написанное красной ручкой, — с вероятностью $$70\%$$. Найдите вероятность того, что:
   1) написанное число будет распознано;
   2) Дима выбрал красную ручку, если известно, что сканер распознал число.

Обозначим:

$$H_1$$ — выбрана синяя ручка, $$H_2$$ — выбрана красная ручка, $$A$$ — сканер распознал число.

Тогда

$$P(H_1)=\frac{24}{24+16}=\frac{3}{5}, \qquad P(H_2)=\frac{16}{24+16}=\frac{2}{5}.$$

По условию:

$$P(A\mid H_1)=0{,}9, \qquad P(A\mid H_2)=0{,}7.$$

1) Найдём вероятность того, что число будет распознано:

$$P(A)=P(H_1)\cdot P(A\mid H_1)+P(H_2)\cdot P(A\mid H_2)$$

$$P(A)=\frac{3}{5}\cdot 0{,}9+\frac{2}{5}\cdot 0{,}7=0{,}54+0{,}28=0{,}82.$$

2) Найдём вероятность того, что была выбрана красная ручка, если известно, что число распознано:

$$P(H_2\mid A)=\frac{P(H_2)\cdot P(A\mid H_2)}{P(A)} =\frac{\frac{2}{5}\cdot 0{,}7}{0{,}82} =\frac{0{,}28}{0{,}82} =\frac{14}{41}.$$

Ответ

1) $$0{,}82$$; 2) $$\frac{14}{41}$$.