Упр.19.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) v(x^2+5x) < v(1-x^2+4x); 2) v((2x-3)/(4x-1))?v((x-2)/(x+2)).

1) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2+5x}<\sqrt{1-x^2+4x}.$$

Чтобы корни были определены, нужно:

$$x^2+5x\ge 0,$$

$$1-x^2+4x>0.$$

Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, получаем

$$x^2+5x<1-x^2+4x.$$

Тогда

$$2x^2+x-1<0,$$

$$ (2x-1)(x+1)<0,$$

откуда

$$-1<x<\frac12.$$

С учётом области определения:

$$x^2+5x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -5 \text{ или } x\ge 0.$$

Пересекаем с $$-1<x<\frac12$$:

$$x\in\left[0;\frac12\right).$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{\frac{2x-3}{4x-1}}\ge \sqrt{\frac{x-2}{x+2}}.$$

Приравниваем подкоренные выражения с учётом области определения:

$$\frac{2x-3}{4x-1}\ge \frac{x-2}{x+2},$$

$$\frac{2x-3}{4x-1}\ge 0,\qquad \frac{x-2}{x+2}\ge 0.$$

Из первого неравенства:

$$\frac{(2x-3)(x+2)-(x-2)(4x-1)}{(4x-1)(x+2)}\ge 0.$$

Числитель упростим:

$$ (2x-3)(x+2)-(x-2)(4x-1)= -2x^2+10x-8=-2(x-1)(x-4).$$

Тогда

$$\frac{(x-1)(x-4)}{(4x-1)(x+2)}\le 0.$$

С учётом условий

$$\frac{2x-3}{4x-1}\ge 0,\qquad \frac{x-2}{x+2}\ge 0$$

получаем

$$x\in[2;4].$$

Ответ

1) $$\left[0;\frac12\right)$$

2) $$[2;4]$$