Упр.19.17 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) |x^2+3x| < x+4; 2) |x^2+3x|?2-x^2.

Подробный ответ

$$|x^2+3x|
Так как модуль неотрицателен, то правая часть должна быть положительной:
$$x+4>0,$$
иначе неравенство невозможно.
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2+3x\ge 0.$$ Тогда
$$x^2+3x<x+4,$$
$$x^2+2x-4<0.$$
Найдём корни уравнения $$x^2+2x-4=0$$:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-4)=20,$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5.$$
Значит,
$$-1-\sqrt5<x<-1+\sqrt5.$$
С учётом условия $$x^2+3x\ge 0$$ получаем:
$$(-1-\sqrt5;-2]\cup[0;-1+\sqrt5).$$
2) $$x^2+3x<0.$$ Тогда
$$-(x^2+3x)<x+4,$$
$$x^2+4x+4>0,$$
$$ (x+2)^2>0.$$
Это верно при всех $$x\ne -2$$. С учётом условия $$x^2+3x<0$$ имеем:
$$-3<x<0,\quad x\ne -2,$$
то есть
$$(-3;-2)\cup(-2;0).$$
Объединяя результаты, получаем:
$$(-1-\sqrt5;-2]\cup(-3;0)\cup[0;-1+\sqrt5)=(-1-\sqrt5;-2)\cup(-2;-1+\sqrt5).$$
$$|x^2+3x|\ge 2-x^2$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2+3x\ge 0.$$ Тогда
$$x^2+3x\ge 2-x^2,$$
$$2x^2+3x-2\ge 0.$$
Найдём корни уравнения $$2x^2+3x-2=0$$:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25,$$
$$x=\frac{-3\pm 5}{4},\quad x_1=-2,\quad x_2=\frac12.$$
Тогда
$$2x^2+3x-2\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge \frac12.$$
С учётом условия $$x^2+3x\ge 0$$ получаем:
$$(-\infty;-3]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$
2) $$x^2+3x<0.$$ Тогда
$$-(x^2+3x)\ge 2-x^2,$$
$$3x\le -2,$$
$$x\le -\frac23.$$
С учётом условия $$x^2+3x<0$$ имеем:
$$(-3;0)\cap\left(-\infty;-\frac23\right]=(-3;-\frac23].$$
Объединяя оба случая, получаем:
$$(-\infty;-\frac23]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$