Упр.189 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) прямой y=2-5x и параболы y=x^2+x-5;
2) прямой x-y+5=0 и окружности (x+3)^2+(y-1)^2=13;
3) прямой y=3x-10 и окружности x^2+y^2=10;
4) парабол y=4x^2+5x+2 и y=-2x^2-3x-2.

Подробный ответ

Найдём точки пересечения прямой $$y=2-5x$$ и параболы $$y=x^2+x-5$$.
Приравняем правые части:
$$2-5x=x^2+x-5$$
$$x^2+6x-7=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$
$$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-6+8}{2}=1$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=2-5\cdot(-7)=37,\qquad y_2=2-5\cdot 1=-3$$
Найдём точки пересечения прямой $$x-y+5=0$$ и окружности $$\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2=13$$.
Из уравнения прямой:
$$y=x+5$$
Подставим в уравнение окружности:
$$\left(x+3\right)^2+\left(x+4\right)^2=13$$
$$x^2+6x+9+x^2+8x+16=13$$
$$2x^2+14x+12=0$$
$$x^2+7x+6=0$$
$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$$
$$x_1=\frac{-7-5}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-7+5}{2}=-1$$
Тогда
$$y_1=-6+5=-1,\qquad y_2=-1+5=4$$
Найдём точки пересечения прямой $$y=3x-10$$ и окружности $$x^2+y^2=10$$.
Подставим выражение для $$y$$ в уравнение окружности:
$$x^2+\left(3x-10\right)^2=10$$
$$x^2+9x^2-60x+100=10$$
$$10x^2-60x+90=0$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0$$
$$x=3,\qquad y=3\cdot 3-10=-1$$
Найдём точки пересечения парабол $$y=4x^2+5x+2$$ и $$y=-2x^2-3x-2$$.
Приравняем правые части:
$$4x^2+5x+2=-2x^2-3x-2$$
$$6x^2+8x+4=0$$
$$3x^2+4x+2=0$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8$$
Так как $$D<0$$, действительных решений нет.