Упр.186 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) {4x+7y=5, 4x+7y=a} не имеет решений;
2) {5x+ay=6, 20x-16y=24} имеет бесконечно много решений;
3) {ax+2y=8, 7x-4y=-18} имеет единственное решение?

1. Чтобы система

   $$ \begin{cases} 4x+7y=5,\\ 4x+7y=a \end{cases} $$

   не имела решений, левая часть уравнений должна быть одинаковой, а свободные члены — разными. Тогда

   $$a\ne 5.$$

   Значит,

   $$a\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$

2. Чтобы система

   $$ \begin{cases} 5x+ay=6,\\ 20x-16y=24 \end{cases} $$

   имела бесконечно много решений, уравнения должны быть пропорциональны:

   $$\frac{5}{20}=\frac{a}{-16}=\frac{6}{24}.$$

   Из первых и третьих отношений получаем

   $$\frac{5}{20}=\frac{6}{24}=\frac14,$$

   а значит,

   $$\frac{a}{-16}=\frac14,\qquad a=-4.$$

3. Система

   $$ \begin{cases} ax+2y=8,\\ 7x-4y=-18 \end{cases} $$

   имеет единственное решение, если определитель системы не равен нулю:

   $$ \Delta= \begin{vmatrix} a & 2\\ 7 & -4 \end{vmatrix} =a\cdot(-4)-7\cdot2=-4a-14\ne0. $$

   Тогда

   $$-4a-14\ne0,\qquad a\ne-\frac72.$$

   Следовательно,

   $$a\in(-\infty;-\tfrac72)\cup(-\tfrac72;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$$; 2) $$a=-4$$; 3) $$(-\infty;-\tfrac72)\cup(-\tfrac72;+\infty)$$.