Упр.18.32 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Петя и Андрей пришли на озеро ловить рыбу. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом, у Пети равна $$\frac{3}{5}$$, а у Андрея — $$\frac{1}{2}$$. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом хотя бы у одного из мальчиков, равна $$\frac{7}{10}$$. Какова вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом: 1) и у Пети, и у Андрея; 2) только у Пети; 3) только у Андрея; 4) только у одного из мальчиков?

Обозначим события:

$$A$$ — первая пойманная рыба окажется карпом у Пети, $$P(A)=\frac{3}{5};$$

$$B$$ — первая пойманная рыба окажется карпом у Андрея, $$P(B)=\frac{1}{2};$$

$$P(A\cup B)=\frac{7}{10}.$$

Найдём вероятность того, что карп окажется у обоих мальчиков:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),$$

$$\frac{7}{10}=\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-P(A\cap B),$$

$$\frac{7}{10}=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}-P(A\cap B),$$

$$P(A\cap B)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$

1) И у Пети, и у Андрея:

$$P(A\cap B)=\frac{2}{5}.$$

2) Только у Пети:

$$P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)=\frac{3}{5}-\frac{2}{5}=\frac{1}{5}.$$

3) Только у Андрея:

$$P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}-\frac{2}{5}=\frac{1}{10}.$$

4) Только у одного из мальчиков:

$$P(A\setminus B)+P(B\setminus A)=\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{3}{10}.$$

Ответ

1) $$\frac{2}{5}$$; 2) $$\frac{1}{5}$$; 3) $$\frac{1}{10}$$; 4) $$\frac{3}{10}$$.