Упр.18.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Пусть $$A$$ и $$B$$ — события некоторого испытания. Известно, что $$P(A)>0{,}8$$ и $$P(B)>0{,}8$$. Докажите, что $$P(A\cap B)>0{,}6$$.

Используем формулу вероятности суммы событий:

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).$$

Отсюда

$$P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B).$$

Так как $$P(A)>0{,}8$$ и $$P(B)>0{,}8,$$ то

$$P(A)+P(B)>1{,}6.$$

Кроме того, вероятность любого события не превосходит 1, значит

$$P(A \cup B)\le 1.$$

Тогда

$$P(A \cap B)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)>1{,}6-1=0{,}6.$$

Следовательно, $$P(A \cap B)>0{,}6.$$

Ответ

$$P(A \cap B)>0{,}6.$$