Упр.18.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 18.20. В коробке лежат 24 синих и 16 красных ручек. Ученик выбирает наугад ручку из коробки и этой ручкой пишет число на бумаге. Электронный сканер распознаёт число, написанное синей ручкой, с вероятностью 90%, а число, написанное красной ручкой, — с вероятностью 70%. Составьте дендрограмму этого опыта и найдите вероятность того, что написанное число будет распознано.

Подробный ответ

Обозначим события:

$$A$$ — выбрана синяя ручка;
$$B$$ — выбрана красная ручка;
$$X$$ — число распознано сканером.

Тогда

$$P(A)=\frac{24}{24+16}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}, \qquad P(B)=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}.$$

По условию:

$$P(X\mid A)=0{,}9, \qquad P(X\mid B)=0{,}7.$$

По формуле полной вероятности:

$$ P(X)=P(A)\cdot P(X\mid A)+P(B)\cdot P(X\mid B) $$

$$ P(X)=\frac{3}{5}\cdot 0{,}9+\frac{2}{5}\cdot 0{,}7=0{,}54+0{,}28=0{,}82. $$

Дендрограмма опыта:

$$ \begin{array}{l} \text{Выбор ручки} \\ \quad A\ (\frac{3}{5}) \rightarrow X\ (0{,}9),\ \overline{X}\ (0{,}1) \\ \quad B\ (\frac{2}{5}) \rightarrow X\ (0{,}7),\ \overline{X}\ (0{,}3) \end{array} $$