Упр.18.18 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)
- На проспекте установлено два светофора. Вероятность зафиксировать зелёный свет на первом светофоре равна 0,8, а на втором светофоре — 0,9. Вероятность зафиксировать зелёный свет одновременно на обоих светофорах равна 0,7. Найдите вероятность:
1) зафиксировать зелёный свет на первом светофоре при условии, что на втором светофоре также горит зелёный свет;
2) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре также горит зелёный свет;
3) зафиксировать сигнал, запрещающий движение, на первом светофоре при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет;
4) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение.
Обозначим события: A — на первом светофоре горит зелёный свет, B — на втором светофоре горит зелёный свет.
Дано:
$$P(A)=0{,}8,\quad P(B)=0{,}9,\quad P(A\cap B)=0{,}7.$$
Используем формулу условной вероятности:
$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$$
$$P(A\mid B)=\frac{0{,}7}{0{,}9}=\frac{7}{9}.$$
$$P(B\mid A)=\frac{0{,}7}{0{,}8}=\frac{7}{8}.$$
Найдём вероятность того, что на первом светофоре горит красный свет:
$$P(\overline A)=1-P(A)=1-0{,}8=0{,}2.$$
Тогда
$$P(B\mid \overline A)=\frac{P(B\cap \overline A)}{P(\overline A)}.$$
Так как
$$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B),$$
то
$$P(\overline A\cap B)=0{,}9-0{,}7=0{,}2.$$
Следовательно,
$$P(B\mid \overline A)=\frac{0{,}2}{0{,}2}=1.$$
Найдём вероятность того, что на втором светофоре горит красный свет:
$$P(\overline B)=1-P(B)=1-0{,}9=0{,}1.$$
Тогда
$$P(B\mid \overline A)=\frac{P(B\cap \overline A)}{P(\overline A)}=\frac{0{,}2}{0{,}2}=1,$$
а для события «на втором светофоре горит зелёный свет при условии, что на первом горит запрещающий сигнал» получаем
$$P(B\mid \overline A)=1.$$
Ответ
1) $$\frac{7}{9}$$; 2) $$\frac{7}{8}$$; 3) $$1$$; 4) $$1$$.
