Упр.18.14 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Опыт состоит в том, что наугад выбирают действительное число. В этом опыте рассматривают следующие события: $$A$$ — выбранное число принадлежит промежутку $$[0;2]$$, $$B$$ — выбранное число принадлежит промежутку $$(0;+\infty)$$, $$C$$ — выбранное число принадлежит промежутку $$[1;3)$$. С помощью числовых промежутков запишите множество тех чисел, которые могли быть выбраны, если произошло событие:

$$A\cup B$$;
$$A\cap C$$;
$$\overline{B}$$;
$$A\setminus C$$;
$$A\cap B\cap C$$.

Подробный ответ

Запишем данные множества:

$$A=[0;2], \quad B=(0;+\infty), \quad C=[1;3).$$

1) Объединение $$A \cup B$$ содержит все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Так как $$B$$ включает все положительные числа, а $$A$$ содержит число $$0$$, получаем:

$$A \cup B=[0;+\infty).$$

2) Пересечение $$A \cap C$$ — это общая часть промежутков $$[0;2]$$ и $$[1;3)$$:

$$A \cap C=[1;2].$$

3) Дополнение к событию $$B$$ — это все действительные числа, не принадлежащие промежутку $$(0;+\infty)$$:

$$\overline{B}=(-\infty;0].$$

4) Разность $$A \setminus C$$ — это элементы множества $$A$$, не входящие в $$C$$:

$$A \setminus C=[0;1).$$

5) Пересечение $$A \cap B \cap C$$ — общая часть всех трёх множеств. Сначала $$A \cap B=[0;2] \cap (0;+\infty)=(0;2]$$, затем пересекаем с $$C$$:

$$A \cap B \cap C=[1;2].$$