Упр.170 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (x^2+6x)^2+(x^2+6x)-56=0;
2) (x^2+4x+3)(x^2+4x+5)=15;
3) x^4/(x+4)^2+23x^2/(x+4)-50=0;
4) (x+3)/(x-2)-(x-2)/(x+3)=3/2.

Подробный ответ

$$\left(x^2+6x\right)^2+\left(x^2+6x\right)-56=0.$$
Пусть $$y=x^2+6x,$$ тогда
$$y^2+y-56=0.$$
$$D=1+224=225,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-8,\quad y_2=7.$$
1) $$x^2+6x=-8,$$
$$x^2+6x+8=0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x+2\right)=0,$$
$$x=-4,\,-2.$$
2) $$x^2+6x=7,$$
$$x^2+6x-7=0,$$
$$D=36+28=64,$$
$$x=\frac{-6\pm 8}{2},$$
откуда
$$x=-7,\ 1.$$
$$\left(x^2+4x+3\right)\left(x^2+4x+5\right)=15.$$
Пусть $$y=x^2+4x+3,$$ тогда
$$y(y+2)=15,$$
$$y^2+2y-15=0.$$
$$D=4+60=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}.$$
Значит,
$$y_1=-5,\quad y_2=3.$$
1) $$x^2+4x+3=-5,$$
$$x^2+4x+8=0,$$
$$D=16-32=-16,$$
действительных корней нет.
2) $$x^2+4x+3=3,$$
$$x^2+4x=0,$$
$$x\left(x+4\right)=0,$$
$$x=0,\,-4.$$
$$\frac{x^4}{(x+4)^2}+\frac{23x^2}{x+4}-50=0,$$
$$x\ne -4.$$
Пусть
$$y=\frac{x^2}{x+4},$$
тогда
$$y^2+23y-50=0.$$
$$D=23^2+200=729,$$
$$y_{1,2}=\frac{-23\pm 27}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-25,\quad y_2=2.$$
1) $$\frac{x^2}{x+4}=-25,$$
$$x^2+25x+100=0,$$
$$D=625-400=225,$$
$$x=\frac{-25\pm 15}{2},$$
откуда
$$x=-20,\,-5.$$
2) $$\frac{x^2}{x+4}=2,$$
$$x^2-2x-8=0,$$
$$D=4+32=36,$$
$$x=\frac{2\pm 6}{2},$$
откуда
$$x=-2,\ 4.$$
$$\frac{x+3}{x-2}-\frac{x-2}{x+3}=\frac{3}{2},$$
$$x\ne 2,\ -3.$$
Пусть
$$y=\frac{x+3}{x-2},$$
тогда
$$y-\frac{1}{y}=\frac{3}{2}.$$
Умножим на $$2y$$:
$$2y^2-3y-2=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
Значит,
$$y_1=-\frac{1}{2},\quad y_2=2.$$
1) $$\frac{x+3}{x-2}=-\frac{1}{2},$$
$$2(x+3)=-(x-2),$$
$$2x+6=-x+2,$$
$$3x=-4,$$
$$x=-\frac{4}{3}.$$
2) $$\frac{x+3}{x-2}=2,$$
$$x+3=2(x-2),$$
$$x=7.$$