Упр.17.46 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Вычислите сумму $$1C(n; 1)+2C(n; 2)+3C(n; 3)+\ldots+nC(n; n).$$

Рассмотрим разложение бинома Ньютона:

$$(1+x)^n=1+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+\dots+C_n^nx^n.$$

Продифференцируем обе части:

$$n(1+x)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+\dots+nC_n^nx^{n-1}.$$

Подставим $$x=1$$:

$$n(1+1)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\dots+nC_n^n.$$

Следовательно,

$$C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\dots+nC_n^n=n\cdot 2^{n-1}.$$

Ответ

$$n\cdot 2^{n-1}$$