Упр.17.45 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- В выражении $$(a+b)^{50}$$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона при $$a=2$$, $$b=-\sqrt{3}$$. Укажите наименьшее из слагаемых полученной суммы.
Рассмотрим общий член разложения бинома Ньютона для выражения $$\left(2-\sqrt{3}\right)^{50}.$$
Общий член имеет вид
$$C_{50}^n \cdot 2^{50-n}\cdot(-\sqrt{3})^n.$$
Найдём отношение соседних членов по модулю:
$$\frac{C_{50}^{n+1}\cdot 2^{49-n}\cdot(\sqrt{3})^{n+1}}{C_{50}^{n}\cdot 2^{50-n}\cdot(\sqrt{3})^{n}} = \frac{50-n}{n+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Минимальный член последовательности сначала убывает, а затем возрастает, поэтому наименьший член находится около места, где отношение соседних членов становится не меньше 1:
$$\frac{50-n}{n+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 1.$$
Проверим соседние значения. Для $$n=23$$:
$$\frac{50-23}{23+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{48} <1,$$
а для $$n=24$$:
$$\frac{50-24}{24+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{26\sqrt{3}}{50} >1.$$
Значит, наименьшим является член при $$n=24$$:
$$C_{50}^{24}\cdot 2^{26}\cdot(-\sqrt{3})^{24} = C_{50}^{24}\cdot 2^{26}\cdot 3^{12}.$$
Так как все остальные члены больше, именно это слагаемое — наименьшее.
Ответ
$$C_{50}^{24}\cdot 2^{26}\cdot 3^{12}$$
