Упр.17.45 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 17.45. В выражении (a+b)^50 раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона при a=2, b=-v3. Укажите наименьшее из слагаемых полученной суммы.

Подробный ответ

Рассмотрим общий член разложения бинома Ньютона для выражения $$\left(2-\sqrt{3}\right)^{50}.$$

Общий член имеет вид

$$C_{50}^n \cdot 2^{50-n}\cdot(-\sqrt{3})^n.$$

Найдём отношение соседних членов по модулю:

$$ \frac{C_{50}^{n+1}\cdot 2^{49-n}\cdot(\sqrt{3})^{n+1}}{C_{50}^{n}\cdot 2^{50-n}\cdot(\sqrt{3})^{n}} = \frac{50-n}{n+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

Минимальный член последовательности сначала убывает, а затем возрастает, поэтому наименьший член находится около места, где отношение соседних членов становится не меньше 1:

$$ \frac{50-n}{n+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 1. $$

Проверим соседние значения. Для $$n=23$$:

$$ \frac{50-23}{23+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{48} <1, $$

а для $$n=24$$:

$$ \frac{50-24}{24+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{26\sqrt{3}}{50} >1. $$

Значит, наименьшим является член при $$n=24$$:

$$ C_{50}^{24}\cdot 2^{26}\cdot(-\sqrt{3})^{24} = C_{50}^{24}\cdot 2^{26}\cdot 3^{12}. $$

Так как все остальные члены больше, именно это слагаемое — наименьшее.