Упр.17.44 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

В выражении $$\left(1+\sqrt{2}\right)^{200}$$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Укажите наибольшее из слагаемых полученной суммы.

Общий член разложения бинома $$\left(1+\sqrt{2}\right)^{200}$$ имеет вид

$$a_{n+1}=C_{200}^{n}(\sqrt{2})^{n}, \quad n=0,1,2,\dots,200.$$

Найдём отношение соседних членов:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{C_{200}^{n}(\sqrt{2})^{n}}{C_{200}^{n-1}(\sqrt{2})^{n-1}} = \sqrt{2}\cdot \frac{200-n+1}{n} = \frac{\sqrt{2}(201-n)}{n}.$$

Последовательность членов разложения возрастает, пока

$$\frac{\sqrt{2}(201-n)}{n}>1.$$

Решим неравенство:

$$\sqrt{2}(201-n)>n$$

$$201\sqrt{2}>n(1+\sqrt{2})$$

$$n<\frac{201\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\approx 117{,}74.$$

Значит, наибольшим будет член при $$n=117$$, то есть

$$C_{200}^{117}(\sqrt{2})^{117}.$$

Ответ

$$C_{200}^{117}(\sqrt{2})^{117}$$