Упр.17.40 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Объясните, почему значения выражений $$11^2$$, $$11^3$$ похожи на строки треугольника Паскаля. Вычислите $$11^4$$.

Представим число $$11$$ в виде $$10+1$$ и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k.$$

Тогда

$$11^2=(10+1)^2=C_2^0\cdot 10^2+C_2^1\cdot 10\cdot 1+C_2^2\cdot 1^2$$

$$=1\cdot 100+2\cdot 10+1=100+20+1=121.$$

Аналогично

$$11^3=(10+1)^3=C_3^0\cdot 10^3+C_3^1\cdot 10^2+C_3^2\cdot 10+C_3^3$$

$$=1\cdot 1000+3\cdot 100+3\cdot 10+1=1000+300+30+1=1331.$$

Коэффициенты в разложениях $$11^2$$ и $$11^3$$ совпадают со строками треугольника Паскаля: $$1,2,1$$ и $$1,3,3,1$$.

Теперь вычислим $$11^4$$:

$$11^4=(10+1)^4=C_4^0\cdot 10^4+C_4^1\cdot 10^3+C_4^2\cdot 10^2+C_4^3\cdot 10+C_4^4$$

$$=1\cdot 10000+4\cdot 1000+6\cdot 100+4\cdot 10+1$$

$$=10000+4000+600+40+1=14641.$$

Ответ

$$11^4=14641.$$