Упр.17.39 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- 17.39. Пусть в треугольнике Паскаля выбрано некоторое число. Докажите, что сумма чисел треугольника Паскаля, расположенных параллельно стороне треугольника от выбранного числа до единицы (например, на рисунке 17.4 выбранным является число 10), равна числу, стоящему справа от данного в следующей строке (на рисунке 17.4 сумма фиолетовых чисел равна зелёному числу).
Обозначим выбранное число в треугольнике Паскаля через $$C_k^n.$$ Тогда числа, расположенные параллельно стороне треугольника от этого числа до единицы, имеют вид
$$C_k^n,\; C_{k-1}^{n-1},\; C_{k-2}^{n-2},\; \ldots,\; C_0^{n-k}.$$
По формуле Паскаля
$$C_{k+1}^{n+1}=C_k^n+C_{k+1}^n.$$
Применяя это равенство последовательно, получаем:
$$\begin{aligned} C_{k+1}^{n+1} &= C_k^n + C_{k+1}^n \\ &= C_k^n + C_{k-1}^{n-1} + C_{k+1}^{n-1} \\ &= C_k^n + C_{k-1}^{n-1} + C_{k-2}^{n-2} + C_{k+1}^{n-2} \\ &\;\;\vdots \\ &= C_k^n + C_{k-1}^{n-1} + C_{k-2}^{n-2} + \cdots + C_0^{n-k}. \end{aligned}$$
Значит, сумма чисел, лежащих параллельно стороне треугольника от выбранного числа до единицы, равна числу, стоящему справа от данного в следующей строке.
Ответ
Доказано: сумма указанных чисел равна числу, стоящему справа от данного в следующей строке.
