Упр.17.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Сколькими способами можно разложить $$n$$ различных шаров по трём одинаковым ящикам так, чтобы ни один ящик не остался пустым?

Сначала посчитаем число разложений шаров по различимым ящикам, при которых ни один ящик не пуст.

Всего способов разложить $$n$$ различных шаров по трём ящикам:

$$3^n$$

Вычтем случаи, когда хотя бы один ящик пуст.

Если пуст один фиксированный ящик, то шары распределяются по двум оставшимся ящикам:

$$2^n$$

Таких случаев для трёх ящиков:

$$3\cdot 2^n$$

Если пусты два ящика, то все шары лежат в одном ящике. Таких случаев:

$$3$$

По формуле включений и исключений число разложений по различимым ящикам, где все ящики непусты, равно

$$3^n-3\cdot 2^n+3.$$

Так как ящики одинаковые, каждое разложение посчитано $$3!$$ раз, поэтому нужно разделить на $$3!$$:

$$\frac{3^n-3\cdot 2^n+3}{3!}=\frac{3^n-3\cdot 2^n+3}{6}.$$

Упростим:

$$\frac{3^n-3\cdot 2^n+3}{6}=\frac{3^{n-1}-2^n+1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{3^{n-1}-2^n+1}{2}$$