Упр.17.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

В выражении $$\left(x^4+\frac{1}{x}\right)^n$$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Известно, что шестой член разложения имеет вид $$56x^7$$. Найдите $$n$$.

Шестой член разложения бинома $$\left(x^4+\frac{1}{x}\right)^n$$ имеет вид

$$C_n^5\,(x^4)^{\,n-5}\left(\frac{1}{x}\right)^5.$$

Упростим степень при $$x$$:

$$C_n^5\,x^{4(n-5)}x^{-5}=C_n^5\,x^{4n-25}.$$

По условию этот член равен $$56x^7$$, значит показатели степеней при $$x$$ должны совпадать:

$$4n-25=7.$$

Решаем уравнение:

$$4n=32,$$

$$n=8.$$

Проверим коэффициент:

$$C_8^5=\frac{8!}{5!\,3!}=56,$$

что совпадает с условием.

Ответ

$$8$$