Упр.17.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

В выражении $$\left(5^{1/3}+2^{1/4}\right)^{800}$$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Сколько рациональных слагаемых было получено?

При раскрытии скобок по формуле бинома Ньютона общий член имеет вид

$$C_{800}^n\left(5^{1/3}\right)^n\left(2^{1/4}\right)^{800-n}.$$

Чтобы слагаемое было рациональным, показатели степеней при иррациональных основаниях должны быть целыми числами:

$$\frac{n}{3}\in \mathbb{Z}, \qquad \frac{800-n}{4}\in \mathbb{Z}.$$

Из первого условия получаем

$$n=3k.$$

Из второго условия

$$800-n=4t,$$

то есть

$$n=800-4t.$$

Следовательно, число $$n$$ должно удовлетворять системе сравнимостей:

$$n\equiv 0 \pmod 3,\qquad n\equiv 0 \pmod 4 \text{ для } 800-n.$$

Подставим $$n=3k$$ во второе условие:

$$800-3k=4t.$$

Значит, $$800-3k$$ делится на $$4$$, то есть

$$3k\equiv 0 \pmod 4.$$

Так как $$3$$ и $$4$$ взаимно просты, то $$k$$ должно быть кратно $$4$$:

$$k=4m,$$

тогда

$$n=12m.$$

Теперь найдём все такие $$n$$ при $$0\le n\le 800$$:

$$12m\le 800,$$

$$m\le 66.$$

Значит, возможны значения

$$n=0,12,24,\dots,792.$$

Количество таких значений равно

$$66-0+1=67.$$

Ответ

67