Упр.17.22 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что $$1+C(100;1)3+C(100;2)3^2+\ldots+C(100;99)3^{99}+3^{100}=1-C(200;1)3+C(200;2)3^2-\ldots-C(200;199)3^{199}+3^{200}.$$

Обозначим левую часть равенства через $$S_1$$, а правую — через $$S_2$$:

$$S_1=1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100},$$
$$S_2=1-\mathrm{C}_{200}^{1}3+\mathrm{C}_{200}^{2}3^2-\cdots-\mathrm{C}_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.$$

По биному Ньютона:

$$(1+3)^{100}=\sum_{k=0}^{100}\mathrm{C}_{100}^{k}3^k =1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100},$$
значит,
$$S_1=(1+3)^{100}=4^{100}=2^{200}.$$

Аналогично:

$$(1-3)^{200}=\sum_{k=0}^{200}\mathrm{C}_{200}^{k}(-3)^k =1-\mathrm{C}_{200}^{1}3+\mathrm{C}_{200}^{2}3^2-\cdots-\mathrm{C}_{200}^{199}3^{199}+3^{200},$$
следовательно,
$$S_2=(1-3)^{200}=(-2)^{200}=2^{200}.$$

Итак, $$S_1=S_2$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$1+\mathrm{C}_{100}^{1}3+\mathrm{C}_{100}^{2}3^2+\cdots+\mathrm{C}_{100}^{99}3^{99}+3^{100} = 1-\mathrm{C}_{200}^{1}3+\mathrm{C}_{200}^{2}3^2-\cdots-\mathrm{C}_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.$$