Упр.166 Повторение ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Для каждого значения $$a$$ решите уравнение:
   1) $$\frac{x-4}{x-a}=0$$;
   3) $$\frac{(a-4)(x-a)}{x-3}=0$$;
   5) $$\frac{(x+4)(x-2)}{x-a}=0$$;
   2) $$\frac{x-a}{x+3}=0$$;
   4) $$\frac{(x-a)(x+5)}{x-8}=0$$;
   6) $$\frac{x-a}{(x+4)(x-2)}=0$$.

1. $$\frac{x-4}{x-a}=0$$
   
   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
   $$x-4=0,\quad x=4$$
   $$x-a\ne 0,\quad x\ne a$$
   Если $$a\ne 4,$$ то $$x=4.$$ Если $$a=4,$$ то получаем недопустимое значение, поэтому решений нет.
2. $$\frac{x-a}{x+3}=0$$
   
   $$x-a=0,\quad x=a$$
   $$x+3\ne 0,\quad x\ne -3$$
   Если $$a\ne -3,$$ то $$x=a.$$ Если $$a=-3,$$ то решений нет.
3. $$\frac{(a-4)(x-a)}{x-3}=0$$
   
   Произведение в числителе равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
   $$a-4=0 \quad \text{или} \quad x-a=0$$
   При этом
   $$x-3\ne 0,\quad x\ne 3$$
   Если $$a=4,$$ то числитель тождественно равен нулю, и тогда нужно лишь $$x\ne 3.$$
   Если $$a\ne 4,$$ то $$x=a,$$ но при этом $$a\ne 3.$$
4. $$\frac{(x-a)(x+5)}{x-8}=0$$
   
   $$x-a=0,\quad x=a$$
   $$x+5=0,\quad x=-5$$
   $$x-8\ne 0,\quad x\ne 8$$
   Если $$a\ne -5$$ и $$a\ne 8,$$ то решения: $$x=a$$ и $$x=-5.$$
   Если $$a=-5,$$ то остаётся только $$x=-5.$$
   Если $$a=8,$$ то значение $$x=8$$ недопустимо, поэтому остаётся только $$x=-5.$$
5. $$\frac{(x+4)(x-2)}{x-a}=0$$
   
   $$x+4=0,\quad x=-4$$
   $$x-2=0,\quad x=2$$
   $$x-a\ne 0,\quad x\ne a$$
   Если $$a\ne -4$$ и $$a\ne 2,$$ то решения: $$x=-4$$ и $$x=2.$$
   Если $$a=2,$$ то $$x=2$$ не подходит, остаётся $$x=-4.$$
   Если $$a=-4,$$ то $$x=-4$$ не подходит, остаётся $$x=2.$$
6. $$\frac{x-a}{(x+4)(x-2)}=0$$
   
   $$x-a=0,\quad x=a$$
   $$x+4\ne 0,\quad x\ne -4$$
   $$x-2\ne 0,\quad x\ne 2$$
   Если $$a\ne -4$$ и $$a\ne 2,$$ то $$x=a.$$
   Если $$a=-4$$ или $$a=2,$$ то решений нет.

Ответ

1. $$x=4,\ \text{если } a\ne 4;\quad x\in\varnothing,\ \text{если } a=4.$$
2. $$x=a,\ \text{если } a\ne -3;\quad x\in\varnothing,\ \text{если } a=-3.$$
3. $$x=4,\ x\ne 3,\ \text{если } a=4;\quad x=a,\ \text{если } a\ne 4 \text{ и } a\ne 3;\quad x\in\varnothing,\ \text{если } a=3.$$
4. $$x=a,\ x=-5,\ \text{если } a\ne -5 \text{ и } a\ne 8;\quad x=-5,\ \text{если } a=-5 \text{ или } a=8.$$
5. $$x=-4,\ x=2,\ \text{если } a\ne -4 \text{ и } a\ne 2;\quad x=-4,\ \text{если } a=2;\quad x=2,\ \text{если } a=-4.$$
6. $$x=a,\ \text{если } a\ne -4 \text{ и } a\ne 2;\quad x\in\varnothing,\ \text{если } a=-4 \text{ или } a=2.$$