Упр.16.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1+C(100, 1)3+C(100, 2)3^2+…+C(100, 99)3^99+3^100=1-C(200, 1)3+C(200, 2)3^2-…-C(200, 199)3^199+3^200.

По биному Ньютона имеем:

$$ (1+3)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 1^{100-k}3^k =1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}. $$

Значит, левая часть равна

$$ 1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}=(1+3)^{100}=4^{100}=2^{200}. $$

Аналогично, по биному Ньютона:

$$ (1-3)^{200}=\sum_{k=0}^{200} C_{200}^k 1^{200-k}(-3)^k =1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}. $$

Следовательно, правая часть равна

$$ 1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}=(1-3)^{200}=(-2)^{200}=2^{200}. $$

Обе части равны одному и тому же числу $$2^{200}$$, значит, равенство доказано.

Ответ

$$ 1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100} = 1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}. $$