Упр.16.9 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что:
   $$1+C(100,1)3+C(100,2)3^2+\ldots+C(100,99)3^{99}+3^{100}=1-C(200,1)3+C(200,2)3^2-\ldots-C(200,199)3^{199}+3^{200}.$$

По биному Ньютона имеем:

$$(1+3)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 1^{100-k}3^k =1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}.$$

Значит, левая часть равна

$$1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}=(1+3)^{100}=4^{100}=2^{200}.$$

Аналогично, по биному Ньютона:

$$(1-3)^{200}=\sum_{k=0}^{200} C_{200}^k 1^{200-k}(-3)^k =1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.$$

Следовательно, правая часть равна

$$1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}=(1-3)^{200}=(-2)^{200}=2^{200}.$$

Обе части равны одному и тому же числу $$2^{200}$$, значит, равенство доказано.

Ответ

$$1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100} = 1-C_{200}^1 3+C_{200}^2 3^2-\dots-C_{200}^{199}3^{199}+3^{200}.$$