Упр.16.8 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1+C(100, 1)3+C(100, 2)3^2+…+C(100, 99)3^99+3^100=5^100-C(100, 1)5^99+C(100, 2)5^98-…-C(100, 99)5+1.

Рассмотрим левую часть:

$$ 1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}. $$

По формуле бинома Ньютона:

$$ (1+3)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 1^{100-k}3^k =1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}. $$

Значит,

$$ 1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100}=4^{100}. $$

Теперь рассмотрим правую часть:

$$ 5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1. $$

Это разложение по биному Ньютона для выражения $$ (5-1)^{100} $$:

$$ (5-1)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^k 5^{100-k}(-1)^k =5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1. $$

Следовательно,

$$ 5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1=4^{100}. $$

Обе части равны одному и тому же числу $$4^{100}$$, значит, равенство доказано.

Ответ

$$ 1+C_{100}^1 3+C_{100}^2 3^2+\dots+C_{100}^{99}3^{99}+3^{100} = 5^{100}-C_{100}^1 5^{99}+C_{100}^2 5^{98}-\dots-C_{100}^{99}5+1. $$