Упр.16.7 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Корнями многочлена $$x^3+3x^2+2x-2=0$$ являются три комплексных числа $$x_1$$, $$x_2$$ и $$x_3$$. Составьте кубическое уравнение, корни которого $$3x_1$$, $$3x_2$$ и $$3x_3$$.

По формулам Виета для уравнения

$$x^3+3x^2+2x-2=0$$

если его корни $$x_1, x_2, x_3,$$ то

$$x_1+x_2+x_3=-3,$$

$$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2,$$

$$x_1x_2x_3=2.$$

Нужно составить уравнение, корни которого равны $$3x_1, 3x_2, 3x_3.$$

Тогда сумма новых корней:

$$3x_1+3x_2+3x_3=3(x_1+x_2+x_3)=3\cdot(-3)=-9.$$

Сумма попарных произведений новых корней:

$$9x_1x_2+9x_1x_3+9x_2x_3=9(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=9\cdot2=18.$$

Произведение новых корней:

$$27x_1x_2x_3=27\cdot2=54.$$

По формулам Виета искомое кубическое уравнение имеет вид

$$x^3-(-9)x^2+18x-54=0,$$

то есть

$$x^3+9x^2+18x-54=0.$$

Ответ

$$x^3+9x^2+18x-54=0$$