Упр.16.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Три комплексных числа $$x_1$$, $$x_2$$ и $$x_3$$ являются корнями уравнения $$x^3+29x^2-6x+q=0$$. Найдите $$x_1x_2$$, если $$x_3=-31$$.

Так как $$x_3=-31$$ — корень уравнения

$$x^3+29x^2-6x+q=0,$$

подставим его в уравнение:

$$(-31)^3+29(-31)^2-6(-31)+q=0.$$

Вычислим:

$$-29791+27869+186+q=0,$$

$$-1736+q=0,$$

$$q=1736.$$

По теореме Виета для уравнения $$x^3+29x^2-6x+1736=0$$ имеем:

$$x_1x_2x_3=-1736.$$

Тогда

$$x_1x_2\cdot(-31)=-1736,$$

откуда

$$x_1x_2=\frac{1736}{31}=56.$$

Ответ

56