Упр.16.6 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите сумму $$C(100,0)-C(100,1)+C(100,2)-C(100,3)+\ldots+C(100,100)$$.

Рассмотрим сумму

$$N=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}+C_{100}^{2}-C_{100}^{3}+\dots+C_{100}^{100}.$$

По биному Ньютона

$$\left(1-1\right)^{100}=\sum_{k=0}^{100} C_{100}^{k} \cdot 1^{100-k}\cdot (-1)^k.$$

Значит,

$$\left(1-1\right)^{100}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}+C_{100}^{2}-C_{100}^{3}+\dots+C_{100}^{100}.$$

Так как

$$\left(1-1\right)^{100}=0^{100}=0,$$

то искомая сумма равна нулю.

Ответ

$$0$$