Упр.16.5 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Три комплексных числа $$x_1$$, $$x_2$$ и $$x_3$$ являются корнями уравнения $$5x^3+px^2+15x-40=0$$. Найдите $$x_1+x_2$$, если $$x_3=25$$.

По теореме Виета для уравнения

$$5x^3+px^2+15x-40=0$$

с корнями $$x_1, x_2, x_3$$ имеем

$$x_1+x_2+x_3=-\frac{p}{5}.$$

Так как $$x_3=25$$, подставим это значение в уравнение:

$$5\cdot 25^3+p\cdot 25^2+15\cdot 25-40=0.$$

$$5\cdot 15625+625p+375-40=0$$

$$78125+625p+335=0$$

$$625p=-78460$$

$$p=-\frac{78460}{625}.$$

Теперь найдём сумму корней:

$$x_1+x_2+25=-\frac{p}{5}=\frac{78460}{3125}.$$

Тогда

$$x_1+x_2=\frac{78460}{3125}-25=\frac{78460-78125}{3125}=\frac{335}{3125}=\frac{67}{625}.$$

Ответ

$$\frac{67}{625}$$