Упр.16.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

О действительных числах $$x$$, $$y$$ и $$z$$ известно, что $$x+y+z=5$$, $$x^2+y^2+z^2=9$$. Докажите, что $$4

Подробный ответ

Из условия имеем:

$$x+y+z=5, \qquad x^2+y^2+z^2=9.$$

Найдём сумму попарных произведений:

$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz),$$

откуда

$$25=9+2(xy+xz+yz),$$

$$xy+xz+yz=\frac{25-9}{2}=8.$$

Рассмотрим многочлен

$$t^3-5t^2+8t-r=0,$$

корнями которого являются числа $$x$$, $$y$$, $$z$$. Тогда

$$r=xyz.$$

Чтобы найти возможные значения $$r$$, рассмотрим функцию

$$r(t)=t^3-5t^2+8t.$$

Её производная:

$$r'(t)=3t^2-10t+8.$$

Найдём критические точки:

$$3t^2-10t+8=0,$$

$$D=100-96=4,$$

$$t_1=\frac{10-2}{6}=\frac43, \qquad t_2=\frac{10+2}{6}=2.$$

Так как

$$r'(t)=3\left(t-\frac43\right)(t-2),$$

то на отрезке $$\left[\frac43,2\right]$$ функция убывает, а вне его возрастает. Следовательно, при трёх действительных корнях значения $$r$$ лежат между значениями в критических точках:

$$r\!\left(\frac43\right)=\frac{64}{27}-\frac{80}{9}+\frac{32}{3}=\frac{112}{27},$$

$$r(2)=8-20+16=4.$$

Значит,

$$4