Упр.16.23 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 16.23. О действительных числах х, у и z известно, что x+y+z=5, x^2+y^2+z^2=9. Докажите, что 4 < xyz < 112/27.

Подробный ответ

Из условия имеем:

$$x+y+z=5, \qquad x^2+y^2+z^2=9.$$

Найдём сумму попарных произведений:

$$ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz), $$

откуда

$$ 25=9+2(xy+xz+yz), $$

$$ xy+xz+yz=\frac{25-9}{2}=8. $$

Рассмотрим многочлен

$$ t^3-5t^2+8t-r=0, $$

корнями которого являются числа $x$, $y$, $z$. Тогда

$$ r=xyz. $$

Чтобы найти возможные значения $r$, рассмотрим функцию

$$ r(t)=t^3-5t^2+8t. $$

Её производная:

$$ r'(t)=3t^2-10t+8. $$

Найдём критические точки:

$$ 3t^2-10t+8=0, $$

$$ D=100-96=4, $$

$$ t_1=\frac{10-2}{6}=\frac43, \qquad t_2=\frac{10+2}{6}=2. $$

Так как

$$ r'(t)=3\left(t-\frac43\right)(t-2), $$

то на отрезке $$\left[\frac43,2\right]$$ функция убывает, а вне его возрастает. Следовательно, при трёх действительных корнях значения $r$ лежат между значениями в критических точках:

$$ r\!\left(\frac43\right)=\frac{64}{27}-\frac{80}{9}+\frac{32}{3}=\frac{112}{27}, $$

$$ r(2)=8-20+16=4. $$

Значит,

$$ 4