Упр.16.20 ГДЗ Мерзляк 11 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 11 класс, Просвещение: 16.20. Вычислите СЃСѓРјРјС‹ A=C(101, 1)+C(101, 3)+C(101, 5)+…+C(101, 101) Рё B=C(101, 0)+C(101, 2)+C(101, 4)+…+C(101, 100).

Рассмотрим разложение бинома $$ (1+1)^{101} $$ и $$ (1-1)^{101} $$ по формуле Ньютона.

Сумма всех биномиальных коэффициентов равна

$$ (1+1)^{101}=C_{101}^0+C_{101}^1+C_{101}^2+\dots+C_{101}^{101}=2^{101}. $$

Разность суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях равна

$$ (1-1)^{101}=C_{101}^0-C_{101}^1+C_{101}^2-\dots-C_{101}^{101}=0. $$

Обозначим

$$ A=C_{101}^1+C_{101}^3+C_{101}^5+\dots+C_{101}^{101}, $$
$$ B=C_{101}^0+C_{101}^2+C_{101}^4+\dots+C_{101}^{100}. $$

Тогда

$$ A+B=2^{101}, $$
$$ B-A=0. $$

Из второго равенства получаем $$A=B$$, значит

$$ 2A=2^{101}, $$
$$ A=2^{100}. $$

Ответ

$$2^{100}$$