Упр.16.16 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений в действительных числах:

1) $$\begin{cases} xyz=-6,\\ xy+xz+yz=1,\\ \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=-\frac{2}{3} \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} x+y+z=-1,\\ x^3+y^3+z^3=-25,\\ xy+xz+yz=-5 \end{cases}$$

Подробный ответ

Пусть $$a=xy,\quad b=xz,\quad c=yz.$$ Тогда из системы получаем
$$abc=(xy)(xz)(yz)=(xyz)^2=36,$$
$$a+b+c=1,$$
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=-\frac23.$$
Но
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{ab+ac+bc}{abc},$$
значит
$$ab+ac+bc=-\frac23\cdot 36=-24.$$
Следовательно, числа $$a,b,c$$ являются корнями уравнения
$$t^3-(a+b+c)t^2+(ab+ac+bc)t-abc=0,$$
то есть
$$t^3-t^2-24t-36=0.$$
Проверкой находим корень $$t=3$$:
$$3^3-3^2-24\cdot 3-36=0.$$
Тогда
$$t^3-t^2-24t-36=(t-3)(t^2+2t+12).$$
У квадратного уравнения $$t^2+2t+12=0$$ действительных корней нет, поэтому
$$a,b,c=3,-2,-6$$ в некотором порядке.
Так как
$$xy=3,\quad xz=-2,\quad yz=-6,$$
то
$$x^2=\frac{(xy)(xz)}{yz}=\frac{3\cdot(-2)}{-6}=1,$$
значит $$x=\pm 1.$$
При $$x=1$$ получаем $$y=3,\ z=-2.$$
При $$x=-1$$ получаем $$y=-3,\ z=2.$$
С учётом всех перестановок чисел $$3,-2,-6$$ получаем все решения:
$$(-1,2,-3),\ (-1,-3,2),\ (1,-2,3),\ (1,3,-2),\ (2,-1,-3),\ (2,-3,-1),\ (-2,1,3),\ (-2,3,1),\ (3,-1,2),\ (3,2,-1),\ (-3,1,2),\ (-3,2,1).$$
Из формулы
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\bigl(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\bigr)$$
при $$x+y+z=-1$$ и $$xy+xz+yz=-5$$ имеем
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\bigl((x+y+z)^2-4(xy+xz+yz)\bigr).$$
Тогда
$$-25-3xyz=-1\cdot\bigl(1-4\cdot(-5)\bigr)=-21,$$
откуда
$$xyz=-\frac43.$$
Но удобнее найти сумму квадратов:
$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=1-2\cdot(-5)=11.$$
Рассмотрим многочлен, корнями которого являются $$x,y,z$$:
$$t^3-(x+y+z)t^2+(xy+xz+yz)t-xyz=0.$$
Подставляя найденные значения, получаем
$$t^3+t^2-5t+3=0.$$
Проверкой находим корень $$t=-3$$:
$$(-3)^3+(-3)^2-5(-3)+3=0.$$
Тогда
$$t^3+t^2-5t+3=(t+3)(t^2-2t+1)=(t+3)(t-1)^2.$$
Следовательно, числа $$x,y,z$$ равны $$-3,1,1$$ в некотором порядке.
Все решения:
$$(-3,1,1),\ (1,-3,1),\ (1,1,-3).$$